2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）经过A（﹣2，0），B（﹣5，3）两点的直线的斜率是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
2．（5分）已知向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ）
A．，B．∥，
C．∥，D．以上都不对
3．（5分）若两条直线ax+2y﹣1＝0与3x﹣6y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
4．（5分）直线y＝x﹣2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．2B．C．D．4
5．（5分）已知两圆分别为圆C1：x2+y2＝49和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内含D．相交
6．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．x2﹣＝1D．y2﹣＝1
8．（5分）已知直线l：x+y+t＝0，曲线C：y＝，则“l与C相切”是“t＝2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（5分）已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝49相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知向量，，则＝ ．
12．（5分）已知双曲线﹣y2＝1，则其渐近线方程为 ，离心率为 ．
13．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值为 ．
14．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为 ，若圆C关于直线l对称，则k＝ ．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC （填“垂直”或“不垂直”）；△AEF的面积的最大值为 ．
16．（5分）已知点P（2，0）和圆O：x2+y2＝36上两个不同的点M，N，满足∠MPN＝90°，Q是弦MN的中点，给出下列四个结论：
①|MP|的最小值是4；
②点Q的轨迹是一个圆；
③若点A（5，3），点B（5，5），则存在点Q，使得∠AQB＝90°；
④△MPN面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共5题，共70分）
17．（14分）已知点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程；
（3）三角形ABC的面积．
18．（14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
19．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AED1；
（2）求点A1到平面AED1的距离；
（3）直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
20．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，AB的中点，且PA＝AB＝2AD．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）平面PAB和平面MAB所成角的余弦值；
（3）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点G的位置．
21．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）经过A（﹣2，0），B（﹣5，3）两点的直线的斜率是（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．
【分析】根据斜率的两点式k＝（x1≠x2）即可求解．
【解答】解：由题意可知过A（﹣2，0），B（﹣5，3）两点的直线的斜率k＝＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了斜率的两点式，属于基础题．
2．（5分）已知向量＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），则下列结论正确的是（ ）
A．，B．∥，
C．∥，D．以上都不对
【分析】根据已知条件，结合向量垂直与平行的性质，即可求解．
【解答】解：∵＝（﹣2，﹣3，1），＝（2，0，4），＝（﹣4，﹣6，2），
∴，，
∴，．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直与平行的性质，属于基础题．
3．（5分）若两条直线ax+2y﹣1＝0与3x﹣6y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，根据x的系数之积，加上y的系数之积等于零，计算求得a 的值．
【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1＝0与3x﹣6y﹣1＝0互相垂直，
∴a×3+2×（﹣6）＝0，
求得a＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两条直线垂直，则x的系数之积加上y的系数之积等于零，属于基础题．
4．（5分）直线y＝x﹣2与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】求得圆的圆心和半径，以及圆心到直线的距离公式，由弦长公式2，代入计算可得所求值．
【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r为2，
可得圆心到直线y＝x﹣2的距离为d＝＝，
可得弦长为2＝2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查直线和圆相交的弦长求法，注意运用点到直线的距离公式和弦长公式，考查运算能力，属基础题．
5．（5分）已知两圆分别为圆C1：x2+y2＝49和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内含D．相交
【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝49，圆心为C1（0，0），半径为r1＝7，
圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16，圆心为C2（3，4），半径为r2＝4，
|C1C2|＝5，
则|r1﹣r2|＜|C1C2|＜|r1+r2|，
故这两圆的位置关系是相交．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．
6．（5分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．
【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，
可知：＝+，＝，
＝＝，
＝﹣+．
故选：C．
【点评】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（ ）
A．＝1B．＝1
C．x2﹣＝1D．y2﹣＝1
【分析】利用双曲线的渐近线斜率即可得到，再由c2＝a2+b2即可求解．
【解答】解：由题可知双曲线的焦点在x轴上，一条渐近线方程为y＝x，
所以有，即，
一个焦点坐标为（2，0），所以c＝2，
因为c2＝a2+b2，所以可解得，
所以双曲线的方程为，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质和双曲线的方程，属于基础题．
8．（5分）已知直线l：x+y+t＝0，曲线C：y＝，则“l与C相切”是“t＝2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用直线与圆的位置关系判定充分条件和必要条件．
【解答】解：对于曲线C：y＝，
则y≥0，
所以y2＝x2﹣4，即，
表示的曲线为双曲线的两支中x轴以上的部分；
双曲线的渐近线为y＝±x，
当直线l：x+y+t＝0与渐近线x+y＝0平行，当t＝±2时，直线l与曲线相切，
则“l与C相切”是“t＝2”的既不充分也不必要条件条件．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9．（5分）已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝49相切，则满足条件的直线l有（ ）条
A．1B．2C．3D．4
【分析】设出直线l：y＝kx+b，再根据点到直线距离为2和直线与圆相切列方程组成方程组解得k＝﹣，b＝﹣．只有一解．
【解答】解：显然直线l有斜率，设l：y＝kx+b，
则＝2，即b2＝4（k2+1），…①
又直线l与圆相切，∴＝7，…②
联立①②，k＝﹣，b＝﹣，
所以直线l的方程为y＝﹣x﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．
10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a＝，b＝，可得椭圆的方程．
【解答】解：由题意设椭圆的方程为，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m，
由椭圆的定义知，4m＝2a，得，
故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点，令∠OAF2＝θ（O为坐标原点），则，
在等腰三角形ABF1中，，所以，得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝a2﹣c2＝2，
椭圆c的方程为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）已知向量，，则＝ ．
【分析】根据已知条件，先求出，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴＝（0，2，1）﹣（﹣2，2，﹣4）＝（2，0，5），
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．
12．（5分）已知双曲线﹣y2＝1，则其渐近线方程为 ，离心率为 ．
【分析】根据双曲线方程为标准方程，求得a，b，c，从而可求双曲线的几何性质．
【解答】解：双曲线的标准方程得：，∴a＝2，b＝1，
∴c2＝a2+b2＝5，∴c＝
∴则其渐近线方程为 ，
离心率：，
故答案为：；．
【点评】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．
13．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+2＝0互相平行，则a的值为 2 ．
【分析】利用直线一般式方程平行条件即可直接求解．
【解答】解：因为直线x+ay﹣1＝0与直线ax+4y+2＝0平行，
所以4﹣a2＝0，
所以a＝±2，
当a＝﹣2时，两直线方程分别为x﹣2y﹣1＝0，﹣2x+4y+2＝0，此时两直线重合，不符合题意，
所以a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
14．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为 （1，2） ，若圆C关于直线l对称，则k＝ 1 ．
【分析】根据圆C的标准方程可得圆心坐标，根据圆C关于直线l对称可得圆心在直线上．
【解答】解：由圆C的标准方程可得圆心坐标为（1，2）；
因为圆C关于直线l对称，所以圆心在直线l上，
∴2＝k（1+1），解得k＝1．
故答案为：（1，2），1．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
15．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC 垂直 （填“垂直”或“不垂直”）；△AEF的面积的最大值为 ．
【分析】根据线面垂直的性质定理，判定定理，可证AE⊥平面PBC，根据面面垂直的判定定理，即可得证．分析可得，当点F位于点C时，面积最大，代入数据，即可得答案．
【解答】解：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC，
又底面ABCD为正方形，
所以AB⊥BC，
又AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
因为AE⊂平面PAB，
所以BC⊥AE，
又PA＝AB＝2，
所以△PAB为等腰直角三角形，且E为线段PB的中点，
所以AE⊥PB，
又BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，
因为AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥与平面PBC．
因为AE⊥平面PBC，EF⊂平面PBC，
所以AE⊥EF，
所以当EF最大时，△AEF的面积的最大，
当F位于点C时，EF最大且，
所以△AEF的面积的最大为．
故答案为：垂直；．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
16．（5分）已知点P（2，0）和圆O：x2+y2＝36上两个不同的点M，N，满足∠MPN＝90°，Q是弦MN的中点，给出下列四个结论：
①|MP|的最小值是4；
②点Q的轨迹是一个圆；
③若点A（5，3），点B（5，5），则存在点Q，使得∠AQB＝90°；
④△MPN面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出Q（x，y），找到等量关系，建立方程，求出点Q的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q；④当PM，PN斜率分别为1和﹣1时，且点P，M在y轴左侧，此时△MPN 面积最大，求出最大值．
【解答】解：点M在圆O：x2+y2＝36上，设M（6csθ，6sinθ），则，
当csθ＝1时，|MP|取得最小值，最小值为4，①正确；
设点Q（x，y），则由题意得PQ2＝QM2＝OM2﹣OQ2，
则（x﹣2）2+y2＝36﹣（x2+y2），
整理得：（x﹣1）2+y2＝17，
所以点Q的轨迹是一个圆，②正确；
以AB为直径的圆，圆心为（5，4），半径为1，
方程为：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝1，
下面判断此圆与点Q的轨迹方程（x﹣1）2+y2＝17是否有交点，
由于，两圆相离，
故不存在点Q，使得∠AQB＝90°，③错误；
当PM，PN斜率分别为1和﹣1时，且点P，M在y轴左侧，此时△MPN为等腰直角三角形，面积最大，
此时，④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了轨迹方程问题，属于中档题．
三、解答题（本大题共5题，共70分）
17．（14分）已知点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD的方程；
（3）三角形ABC的面积．
【分析】（1）由两点式写出直线方程化简即可；
（2）先求出D坐标，再由两点式写出直线方程化简即可；
（3）求BC即点A到直线BC距离即可．
【解答】解：（1）由B（3，1），C（﹣1，0），根据两点式，直线BC方程为：，即x﹣4y+1＝0；
（2）由B（3，1），C（﹣1，0）知BC中点D（1，），则直线AD方程为：x＝1；
（3）由于，点A到直线BC距离为：，
则三角形ABC的面积为：．
【点评】本题考查直线的方程以及点到直线距离公式，属于基础题．
18．（14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【分析】点到圆心的距离为半径，用圆心和半径写出圆的标准方程，求圆心到AB的距离，再用勾股定理求出弦长，最后用面积公式求出答案．
【解答】解：圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
（Ⅱ）解：作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB．
在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以．
所以|AB|＝2|AD|＝8．
所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查对圆的标准方程的运用，以及点到直线的距离和勾股定理的运用，以及三角形面积的求解，属于中档题
19．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AED1；
（2）求点A1到平面AED1的距离；
（3）直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
【分析】（1）通过证明四边形ABC1D1是平行四边形得出BC1∥AD1即可证明BC1∥平面AED1；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面AED1的距离；
（3）利用向量法能求出直线AA1与平面AED1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BB1的中点，
∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，
∵BC1⊄平面AED1，AD1⊂平面AED1，
∴BC1∥平面AED1；
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A1（0，0，2），A（0，0，0），D1（2，0，2），E（0，2，1），
则＝（0，0，2），＝（2，0，2），＝（0，2，1），
设平面AED1的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（2，1，﹣2），
则点A1到平面AED1的距离为：
d＝＝；
（3）平面AED1的法向量为＝（2，1，﹣2），
设直线AA1与平面AED1所成角为θ，
则直线AA1与平面AED1所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
【点评】本题考查线面平行的判定与性质、线面角、点到平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（14分）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，AB的中点，且PA＝AB＝2AD．
（1）求证：MN⊥CD；
（2）平面PAB和平面MAB所成角的余弦值；
（3）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点G的位置．
【分析】（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，证明即可；
（2）求出平面PAB和平面MAB的法向量，利用向量关系可求出；
（3）设，根据 即可求出．
【解答】（1）证明：由题可以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AB＝2AD＝2，
则，
所以，
因为，所以，即MN⊥CD；
解：（2）易得平面PAB的一个法向量为，
因为，则，
设平面MAB的一个法向量为，
则，即，
令y＝2，则x＝0，z＝﹣1，即，
则，
由图可得平面PAB和平面MAB所成角为锐角，
所以平面PAB和平面MAB所成角的余弦值为．
（3）设存在点G满足，则G（0，λ，0），所以，
因为P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），所以，
因为GM⊥平面PBC，则，即，解得，
所以存在点G，使GM⊥平面PBC，此时G在AD中点．
【点评】本题主要考查异面直线垂直的证明，面面角的计算，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
21．（14分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
【分析】（Ⅰ）由题可知，c＝1，，再结合a2＝b2+c2，解出a和b的值即可得解；
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；
（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，c＝1，，
∵a2＝b2+c2，∴，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y得，（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
则，
∵M为线段AB的中点，∴，，
∴，
∴为定值．
（Ⅲ）若四边形OAPB为平行四边形，则，
∴，，
∵点P在椭圆上，∴，解得，即，
∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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