2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）已知向量，若∥，则实数m的值为（ ）
A．2B．C．﹣2D．
2．（4分）设x∈R，向量，若，则x＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
3．（4分）圆x2+y2﹣6x+8y＝0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（3，4），25B．（﹣3，4），5
C．（﹣3，﹣4），25D．（3，﹣4），5
4．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣
5．（4分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．0D．2
6．（4分）过两直线x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5＝0B．x+3y﹣5＝0C．x﹣3y+5＝0D．x﹣3y﹣5＝0
7．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0与直线l切于点，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x﹣y+4＝0C．x+y﹣4＝0D．x+y﹣2＝0
8．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
9．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'，且平面A'DE⊥平面BCDE，连接A'B，A'C，则下列结论中正确的个数是（ ）
①BD⊥A'C
②点B到平面A′CD的距离为
③异面直线BC与A'D所成角的余弦值为
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共有5个小题，请将每一个小题得正确答案填写在答题纸上相应得位置，每小题4分，合计20分）
11．（4分）已知点A（0，﹣4）、B（3，0），则直线AB的一个方向向量为 ，线段AB的长度为 ．
12．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是 ．
13．（4分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于 ．
14．（4分）已知在△ABC中，顶点A（4，2），点B在直线l：x﹣y+2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值 ．
15．（4分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在正方体的表面及其内部运动，且D1P⊥CM，那么：
（1）所有满足条件的点P构成的图形的面积为 ；
（2）MP的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有四个小题，每个小题要求写出必要的文字说明和推证过程．合计40分）
16．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），线段AC的中点M；
（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；
（2）求BC边的高线所在直线方程．
17．（10分）已知直线l经过两点P（1，0），Q（0，﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求|AB|的值．
18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，．
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求点B到平面PCD的距离．
19．（10分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
2022-2023学年北京市平谷区北京实验学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每个小题得四个选项中有且只有一个正确答案，请将选出填涂在答题卡上相应位置．每小题4分，合计40分）
1．（4分）已知向量，若∥，则实数m的值为（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【分析】根据向量平行列方程，化简求得m的值．
【解答】解：由于，所以，解得m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：向量的共线和坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（4分）设x∈R，向量，若，则x＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式求解即可．
【解答】解：因为向量，且，
则有，解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，主要考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．
3．（4分）圆x2+y2﹣6x+8y＝0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（3，4），25B．（﹣3，4），5
C．（﹣3，﹣4），25D．（3，﹣4），5
【分析】利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径．
【解答】解：由x2+y2﹣6x+8y＝0得，（x﹣3）2+（y+4）2＝25，
所以圆心的坐标是（3，﹣4），半径r＝5．
故选：D．
【点评】本题考查由圆的一般方程求圆心、半径，可利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，也可利用公式直接求解．
4．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．
【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若＝，＝，＝，
可知：＝+，＝，
＝＝，
＝﹣+．
故选：C．
【点评】本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
5．（4分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．0D．2
【分析】首先根据斜率公式求出直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．
【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）
所以直线AB的斜率k＝＝y+2
又因为直线的倾斜角为，
所以k＝﹣1，
所以y＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及由两点求直线的斜率，此题属于基础题型．
6．（4分）过两直线x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A．x+3y+5＝0B．x+3y﹣5＝0C．x﹣3y+5＝0D．x﹣3y﹣5＝0
【分析】先联立两直线方程，求出两直线的交点坐标，依题意可设所求直线方程为y＝+k（k≠0），代入交点坐标，即可求出k的值，从而得到直线方程．
【解答】解：联立方程，解得：，
∴直线x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交点坐标为（1，2），
设所求直线方程为y＝+k（k≠0），
代入点（1，2）得，2＝，
∴k＝，
∴所求直线方程为y＝+，即x﹣3y+5＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线平行的位置关系，是基础题．
7．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x＝0与直线l切于点，则直线l的方程为（ ）
A．x﹣y+2＝0B．x﹣y+4＝0C．x+y﹣4＝0D．x+y﹣2＝0
【分析】由圆的方程求出圆心坐标，再由题意可得与直线l的斜率垂直的直线的斜率，再求出切线方程的斜率，再由点斜式求出切线的方程．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x＝0的圆心坐标（2，0），
所以，由题意与直线l垂直的斜率为：＝﹣，所以切线的斜率为：，
所以切线方程为：y﹣＝（x﹣1），即x﹣y+2＝0；
故选：A．
【点评】本题考查求圆上一点的切线的方程的方法，属于基础题．
8．（4分）“a＝﹣1”是“直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【分析】由题意利用充分条件、不要条件，充要条件的定义，得出结论．
【解答】解：由a＝﹣1，可得直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0，
即直线l1：x+2y﹣1＝0与l2：﹣2x+y+2＝0，它们的斜率分别为﹣、2，
满足斜率之积等于﹣1，故l1⊥l2，故充分性成立．
若l1⊥l2，则有（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）＝0，求得a＝±1，不一定是a＝1，故必要性不成立．
综上可得，
“a＝﹣1”是直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件、不要条件，充要条件的定义，属于基础题．
9．（4分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】通过平移直线求得异面直线所成的角，再由余弦定理即可得解．
【解答】解：过点A在平面ABB1A1内作AF∥DF1，再过点E1在平面ABB1A1内作E1E∥AF，如图，
则∠BE1E或其补角即为BE1与DF1所成的角，
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，不妨设，
则，，
所以在△BE1E中，．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：异面直线的夹角，余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
10．（4分）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'，且平面A'DE⊥平面BCDE，连接A'B，A'C，则下列结论中正确的个数是（ ）
①BD⊥A'C
②点B到平面A′CD的距离为
③异面直线BC与A'D所成角的余弦值为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】利用反证法，假设BD⊥A'C，根据面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理，可证A′E⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可证BD⊥平面A′EC，即BD⊥EC，与菱形BD⊥AC矛盾，假设不成立，故①错误；如图建系，求得各点坐标，进而可得平面A′CD的法向量，根据点到平面距离的向量求法，计算求值，即可判断②的正误；根据异面直线夹角的向量求法，即可判断③的正误，即可得答案．
【解答】解：对于①：反证法：假设BD⊥A'C，
因为ABCD为菱形，∠BAD＝60°且E为边AB的中点，
所以DE⊥AB，
又因为平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE＝DE，A'E⊥DE，
所以A'E⊥平面BCDE，
又BD⊂平面BCDE，
所以A′E⊥BD，又BD⊥A'C，
所以BD⊥平面A′EC，
所以BD⊥EC，
因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，且AC∩EC＝C，
所以与BD⊥EC矛盾，故假设BD⊥A'C不成立，
所以BD⊥A'C错误，即①错误；
对于②：因为EB，ED，EA'两两垂直，以E为原点EB，ED，EA'分别为x，y，z轴正方向建系，如图所示：
所以，
所以，
设平面A′CD的法向量，
则，令，则法向量可取，
所以点B到平面A′CD的距离，故②正确；
对于③：，
所以，
所以异面直线BC与A'D所成角的余弦值为，故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线与直线的位置关系的应用，空间点、线、面距离的求法，是中档题．
二、填空题（本大题共有5个小题，请将每一个小题得正确答案填写在答题纸上相应得位置，每小题4分，合计20分）
11．（4分）已知点A（0，﹣4）、B（3，0），则直线AB的一个方向向量为 （3，4） ，线段AB的长度为 5 ．
【分析】由题意中A，B的坐标即可求出直线AB的方向向量，由向量的模的定义即可求出AB的长度．
【解答】解：由A，B点即可得到，
，
故线段AB的长度为5，
故答案为：（3，4），5．
【点评】本题考查直线的方向向量与模，属于容易题．
12．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是 （﹣4，3，2） ．
【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
13．（4分）平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于 5 ．
【分析】由平行六面体ABCDA1B1C1D1可得：，两边作数量积++即可得出．
【解答】解：由平行六面体ABCDA1B1C1D1可得：，
∴++
＝12+22+32+2cs60°（1×2+1×3+2×3）
＝25，
∴＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行六面体法则和数量积运算，属于基础题．
14．（4分）已知在△ABC中，顶点A（4，2），点B在直线l：x﹣y+2＝0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值 ．
【分析】设点（4，2），点A关于直线l：x﹣y+2＝0对称的点为D（x，y），则点D（a，b）与点A（4，2）的中点在直线x﹣y+2＝0上，且直线AD一定垂直于直线x﹣y+2＝0，列方程组求出D（0，6）根据对称原理，△ABC的周长的最小值为：AC+BA+BC＝DC+CD+CA＝DB+BA，即DB+BA的最小值，设点D（0，6）关于x轴的对称为点E（0，﹣6），直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB+BA取得最小值此时DB+BA＝EA，由此能求出△ABC的周长的最小值．
【解答】解：在△ABC中，顶点A（4，2），点B在直线l：x﹣y+2＝0上，点C在x轴上，
设点（4，2），点A关于直线l：x﹣y+2＝0对称的点为D（x，y）
则点D（a，b）与点A（4，2）的中点在直线x﹣y+2＝0上
且直线AD一定垂直于直线x﹣y+2＝0，
∴，解得a＝0，b＝6，∴D点坐标为D（0，6）
根据对称原理，△ABC的周长的最小值为：
AC+BA+BC＝DC+CD+CA＝DB+BA，即DB+BA的最小值，
∵设点D（0，6）关于x轴的对称为点E（0，﹣6），
直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB+BA取得最小值
此时DB+BA＝EA＝＝4，
∴△ABC的周长的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式、对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（4分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在正方体的表面及其内部运动，且D1P⊥CM，那么：
（1）所有满足条件的点P构成的图形的面积为 ；
（2）MP的最小值为 1 ．
【分析】取AD中点E，AB中点F，连接MD、D1E、EF、FB1、B1D1、A1C1，根据射影定理，可证MC⊥D1E、NC⊥B1D1，进而可证MC⊥平面EFB1D1，即可得P点的运动轨迹，分别求得等腰梯形EFB1D1各个边长，代入公式，即可得答案；如图建系，求得各点坐标，即可得，坐标，根据点到面距离的向量求法，代入公式，计算即可得答案．
【解答】解：取AD中点E，AB中点F，连接MD、D1E、EF、FB1、B1D1、A1C1，如图所示：
因为DC⊥平面ADD1A1，
所以MD即为MC在平面ADD1A1内的射影，
因为M、E分别为AA1，AD中点，
所以MA＝ED，AD＝DD1，
所以Rt△MAD≌Rt△EDD1，则∠MDA＝∠ED1D，
所以MD⊥D1E，
根据射影定理可得MC⊥D1E，
同理A1C1为MC在平面A1B1C1D1内的射影，且A1C1⊥B1D1，
所以MC⊥B1D1，
又E、F分别为AD、AB中点，
所以EF∥BD∥B1D1，
所以E，F，B1，D1四点共面，
所以D1P⊥平面EFB1D1，
因为D1P⊥CM，则D1P⊂平面EFB1D1，
所以P点的轨迹即为平面EFB1D1，
在等腰梯形EFB1D1中，EF＝，，
不妨将等腰梯形EFB1D1取出画成平面图，过E、F分别作EG、FH垂直B1D1，如图所示：
所以GH＝EF＝，，
所以EG＝＝，
所以等腰梯形EFB1D1的面积S＝，
所以所有满足条件的点P构成的图形的面积为；
由题意可得，当MP⊥平面EFB1D1时，MP有最小值，即求点M到平面EFB1D1的距离，
分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴正方向建系，如图所示
则M（2，0，1），C（0，2，0），E（1，0，0），
所以，，
因为MC⊥平面EFB1D1，
所以即为平面EFB1D1的法向量，
所以点M到平面EFB1D1的距离d＝||＝1，
所以MP的最小值为1．
【点评】本题主要考查点到平面的距离，属于中档题．
三、解答题（本大题共有四个小题，每个小题要求写出必要的文字说明和推证过程．合计40分）
16．（10分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），线段AC的中点M；
（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；
（2）求BC边的高线所在直线方程．
【分析】（1）根据A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），求得点M的坐标，和直线直线BC的斜率，写出直线方程；
（2）根据，得到BC边的高线的斜率，写出直线方程．
【解答】解：（1）因为A（﹣3，9），B（2，2），C（5，3），
所以M（1，6），，
所以过M点和直线BC平行的直线方程为，
即x﹣3y+17＝0；
（2）因为，
所以BC边的高线的斜率为﹣3，
所以BC边的高线所在直线方程y﹣9＝﹣3（x+3），
即3x+y＝0．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
17．（10分）已知直线l经过两点P（1，0），Q（0，﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求|AB|的值．
【分析】（Ⅰ）由直线l过P和Q两点，根据P和Q的坐标，表示出直线的两点式方程，整理可得直线l的方程；
（Ⅱ）由圆C的标准方程找出圆心C的坐标及半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用垂径定理及勾股定理，即可求出|AB|的长．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l经过两点P（1，0），Q（0，﹣1），
∴直线l的方程为：y+1＝（x﹣0），即y＝x﹣1；
（Ⅱ）由圆C的方程得到圆心C（1，1），半径r＝2，
∴圆心C到直线l的距离d＝＝，
∴弦长|AB|＝2＝．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线的两点式方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，以及勾股定理，直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，．
（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求点B到平面PCD的距离．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）利用空间向量点到平面的距离公式进行求解即可
【解答】解：（1）取AD中点为O，连接CO，PO，
∵，∴CO⊥AD，
又∵PA＝PD，∴PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
在Rt△APD中，OP＝1，在Rt△AOC中，，
以O为坐标原点，分别以OC，OA，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
则，，，
设为平面PCD的法向量，
则由，得，令z＝1，则，故，
设PB与平面PCD所成角为θ，
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）由（1）可得点B到平面PCD的距离．
【点评】本题考查线面角的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题．
19．（10分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
【分析】（1）连接AF，易知CF＝1，BF＝，由BF⊥A1B1，BF⊥AB，再利用勾股定理求得AF和AC的长，从而证明BA⊥BC，然后以B为原点建立空间直角坐标系，证得•＝0，即可；
（2）易知平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），求得平面DEF的法向量，再由空间向量的数量积可得cs＜，＞＝，从而知当m＝时，得解．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2），
∴•＝0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），
由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m），
∴cs＜，＞＝＝＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
【点评】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
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