高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.1 平行直线与异面直线优秀达标测试

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题型一 空间四边形概念辨析
1．（22-23高一下·陕西西安·期中）E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，则EG,FH的位置关系是（ ）
A．异面B．平行
C．相交D．重合
2．（2022高一·全国·专题练习）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（ ）

A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形
3．（22-23高一下·全国·课时练习）如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，AEAB=AHAD=λ，CFCB=CGCD=μ，则下列结论中不正确的是（ ）

A．当λ=μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ≠μ时，四边形EFGH一定不是平行四边形
D．当λ=μ时，四边形EFGH是梯形
4．（2023高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
题型二 异面直线的概念辨析
1．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线D．是异面直线
2．（多选）（22-23高一下·河南·期中）已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，则下列直线中与直线C1M是异面直线的有（ ）
A．DD1B．CC1C．BD1D．CA1
3. （23-24高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是 .
①DD1②AC③AD1④B1C
4．（2018高一上·全国·专题练习）如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
题型三 异面直线所成的角
1．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线BC1与B1D1所成的角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．π2
2．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在三棱锥A−BCD中，AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点，求EF与AB所成的角．
3．（2024高三·全国·专题练习）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分别是AD、DC的中点.
(1)求：棱锥B−A1B1C1的体积；
(2)求：异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
4．（2024高一·江苏·专题练习）如图，在正方体ABCD−EFGH中，若M,N分别是BF,CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．

题型四 异面直线垂直的证明
1．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'.
2．（2023高一下·全国·专题练习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG=2，GE=5，EF=3.求证：AC⊥BD.
3．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱ABC−A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'.
4．（2022高一·全国·专题练习）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
题型五 异面直线之间的距离
1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为1,E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为 ．
2．（21-22高二上·上海杨浦·期中）如图，已知四棱锥P−ABCD中，ABCD为矩形，PB⊥平面ABCD,BC=3,PC=5，PA=42，异面直线BC与PD之间的距离为 .
3．（22-23高一·全国·课时练习）边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1D和B1C1之间的距离为 .
4．（21-22高一·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为1，写出下列异面直线的公垂线并求异面直线的距离．
(1)AB和DD1；
(2)AA1和BC1；
(3)AD1和B1C．
题型六 异面直线所成角求其他量
1．（22-23高一下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在四面体ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为60∘，且BD=AC=4，则EF的长为（ ）

A．2B．4C．23D．2或23
2．（22-23高一下·河南新乡·期末）已知在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A1B1=3，若异面直线AA1与BC所成角的余弦值为66，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为（ ）
A．1333B．133C．2633D．263
3．（22-23高一下·广东广州·期末）在四面体ABCD中，AB,BC,BD两两互相垂直，且AB=BC=2,E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为1010，则四面体的体积为 ．
4．（22-23高一下·福建·期末）在四面体ABCD中，E、F 分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为45°，且BD=2,AC=4，则EF2的长为 .
1．（多选）（20-21高一下·湖南张家界·期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论错误的是（ ）

A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
2．（多选）（20-21高一下·湖南株洲·期中）如图是一正方体的表面展开图，图中所示的四条线段在正方体中是异面关系且所成角为60∘的有（ ）

A．AB与CDB．AB与EFC．EF与GHD．GH与CD
3．（22-23高一·全国·课堂例题）已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体（如图）．

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？
(2)求证直线AA1与BC垂直．
(3)求直线BC1与AC的夹角．