高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线学案及答案

11.3.1 平行直线与异面直线  

1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．

2.理解并掌握等角定理，并会应用．

3.理解异面直线的定义，会画两条异面直线．(一般)

4.了解空间四边形的定义．

重点：掌握空间中两条直线平行的判定与性质；

难点：理解异面直线的概念及等角定理，并会应用

1．平行直线

(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)平行线的传递性

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．

符号表述：⇒b∥c.

2．等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？

[提示]　相等或互补．

3．异面直线的判定

与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．

4．空间四边形

试一试

1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°　　　　　 B．30°或150°

C．150° D．以上结论都不对

2．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线(　　)

A．12对 B．18对

C．24对 D．36对

3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．

一、    情境与问题

     前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并借助其它几何体进了理解，这里我们将继续学习这些内容，并了解判断空间中平行关系的方法，熟悉空间中平行关系的性质.

同初中几何一样，我们仍然把在同一平面内不相交的两条直线成为平行直线.

问题1：利用生活中的实物进行演示或观察几何体，思考下列问题
1.初中所学的结论，“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”， 在

    空间中是否仍成立？
2.初中所学的结论在“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这

   两条直线也相互平行” ，如果去掉条件“在同一平面内”， 结论是否仍成立？

不难看出，尝试与发现中的两个结论在空间中仍成立，即
（1）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.

上述结论(2)通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为:，

如图所示

1．平行直线

(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)平行线的传递性

文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．

符号表述：⇒b∥c.

      问题2： 如图所示，等角定理是说，在空间中，如果，则有

       如果与 都在同一平面内，你能证明这个结论吗？如果这两个角不在同一个平面内呢？

2．等角定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．

问题3：结合图形思考，在立体几何中怎样做出异面直线的直观图？

两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内。

异面直线的直观图-----平面衬托法

异面直线的判定:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．

做一做1　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

判定两条直线是异面直线的方法

1．证明两条直线既不平行又不相交．

2．重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过

此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，lα，则AB与l是异面直线(如图)．

                      空间四边形
顺次连接不共面的四点所构成的图形称为空间四边形。

4．空间四边形

例1．如图所示空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，AD，CB，CD的中点.求证：四边形EFHG是平行四边形.

证明两条直线平行的三种方法

1．一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．

2．二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质．

3．三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

1.如图所示，在三棱锥S­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　)

A．平行　 B．相交

C．异面 D．平行或异面

2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(　　)

A．正方形 B．菱形

C．矩形 D．空间四边形

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.

4．已知棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1.

1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍

(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．

(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

2．对等角定理的应用，特别注意角的两组对应边的方向性.

参考答案：

知识梳理

试一试

1． B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]

2． B　[由基本事实易知共有18对．]

3． 相交　[直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]

学习过程

做一做1(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　

[(1)在正方体AC1中，因为A1D1 BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.

(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．

(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．

(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]

例1．

证明：在中,因为分别是的中点,

所以由三角形的中位线定理可知

且，同理,且

因此，所以四边形是平行四边形.

达标检测

1. A　[∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.]

2． B　[设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]

3．135°　[由等角定理可知β＝135°.]

4． [证明]　如图，连接AC，

在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，

所以MN是△ACD的中位线，

所以MN∥AC，MN＝AC.

由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1，

所以MN∥A1C1，

又因为ND∥A1D1，

所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.