高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.3.1 平行直线与异面直线同步达标检测题

平行直线与异面直线

1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 (　　)

A.全等      B.不相似

C.仅有一个角相等   D.相似

2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是 (　　)

A.SB B.SC C.BC D.AB

3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　. 

4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:

①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);

③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).

其中正确的是　　　　. 

5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　; 

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　. 

6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.

求证:四边形B1EDF是平行四边形.

能力提升

1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是 (　　)

A.OB∥O1B1且方向相同

B.OB∥O1B1

C.OB与O1B1不平行

D.OB与O1B1不一定平行

2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是 (　　)

3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是              (　　)

A.①② B.②③ C.③ D.①②③

4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是 (　　)

A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线

B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线

C.若α∥β,a⊂α,则a⊥β

D.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交

5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是 (　　)

A.若a∥b,b∥c,则a∥c

B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交

C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面

D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面

6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是              (　　)

A.M,N,P,Q四点共面

B.∠QME=∠CBD

C.△BCD∽△MEQ

D.四边形MNPQ为梯形.

7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,

(1)∠DBC的两边与∠　　　　的两边分别平行且方向相同; 

(2)∠DBC的两边与∠　　　　的两边分别平行且方向相反. 

8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN,有以下结论:

①AA1⊥MN;

②A1C1∥MN;

③MN与A1C1是异面直线.

其中正确结论的序号是　　　　. 

9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.

10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD的中点.

(1)判断四边形MNA′C′的形状.

(2)求四边形MNA′C′的面积.

参考答案

1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 (　　)

A.全等      B.不相似

C.仅有一个角相等   D.相似

分析：选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.

2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是 (　　)

A.SB B.SC C.BC D.AB

分析：选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.

3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　. 

分析：题干图①中,GH∥MN,因此,GH与MN共面.题干图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面.题干图③中,连接MG,GM∥HN,因此,GH与MN共面.题干图④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.

答案:②④

4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:

①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);

③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).

其中正确的是　　　　. 

分析：设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故④正确.

答案:④

5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　; 

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　. 

分析：(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1?BC,

所以四边形A1BCD1为平行四边形,

所以A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.

答案:(1)平行　(2)异面

6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.

求证:四边形B1EDF是平行四边形.

【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,

因为E是AA1的中点,所以EQ?A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中,A1D1?B1C1,

所以EQ?B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,

所以B1E?C1Q.

又因为Q,F是矩形DD1C1C两边的中点,

所以QD?C1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,

所以C1Q?DF,又因为B1E?C1Q,所以B1E?DF,

所以四边形B1EDF为平行四边形.

能力提升

1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是 (　　)

A.OB∥O1B1且方向相同

B.OB∥O1B1

C.OB与O1B1不平行

D.OB与O1B1不一定平行

分析：选D.如图①②所示,OB与O1B1不一定平行.

2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是 (　　)

分析：选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.

3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是              (　　)

A.①② B.②③ C.③ D.①②③

分析：选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四个选项中仅有选项C不含①②,故选C.

4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是 (　　)

A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线

B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线

C.若α∥β,a⊂α,则a⊥β

D.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交

分析：选A.A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故C错误;D中,直线a与平面β有可能平行,故D错误.

5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是 (　　)

A.若a∥b,b∥c,则a∥c

B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交

C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面

D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面

分析：选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.

6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是              (　　)

A.M,N,P,Q四点共面

B.∠QME=∠CBD

C.△BCD∽△MEQ

D.四边形MNPQ为梯形.

分析：选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQ?BD,NP?BD,所以MQ?NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.

7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,

(1)∠DBC的两边与∠　　　　的两边分别平行且方向相同; 

(2)∠DBC的两边与∠　　　　的两边分别平行且方向相反. 

分析：(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,

所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.

(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反,

所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.

答案:(1)D1B1C1　(2)B1D1A1

8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN,有以下结论:

①AA1⊥MN;

②A1C1∥MN;

③MN与A1C1是异面直线.

其中正确结论的序号是　　　　. 

分析：考虑极端:M为A,N为B,排除②;M为B1,N为C1,排除③.故填①.

答案:①

9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.

【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CD?A1B1,

所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.

因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,

所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因为BC?A1D1,

所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.

因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,

所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别

平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.

10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD的中点.

(1)判断四边形MNA′C′的形状.

(2)求四边形MNA′C′的面积.

分析：(1)连接AC.因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MN?AC.因为ABCD-

A′B′C′D′为长方体.所以四边形ACC′A′为矩形.所以A′C′?AC,所以MN?A′C′,所以四边形MNA′C′是梯形.在△A′AN和△C′CM中,因为

∠A′AN=∠C′CM=90°,A′A=C′C=2a,AN=CM=a,所以△A′AN≌△C′CM.

所以A′N=C′M.

所以四边形MNA′C′是等腰梯形.

(2)由A′C′=a,MN=a,A′N=C′M=a,

得梯形高h=a,所以四边形MNA′C′的面积S=a2.