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高中人教B版 (2019)11.3.1 平行直线与异面直线学案
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这是一份高中人教B版 (2019)11.3.1 平行直线与异面直线学案，共10页。
前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质．
思考：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件，在空间中这两个结论还成立吗？
知识点1 平行直线与等角定理
1．平行直线
(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)平行线的传递性
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．
符号表述：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a∥c))⇒b∥c．
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．]
2．如图，AA′是长方体ABCDA′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有 条．
3 [因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，
所以AA′∥BB′，AA′∥DD′．
又四边形BCC′B′为长方形，
所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′．
故与AA′平行的棱共有3条，分别是BB′，CC′，DD′．]
知识点2 异面直线的判定
1．异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线．
2．异面直线的画法：
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示．
3．异面直线的一种判断方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b异面．( )
(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )
(4)若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面． ( )
[提示] (1)×．没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线．
(2)×．若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
(3)×．若a，b是异面直线，a，c是异面直线，那么b，c可以平行，可以相交，可以异面．
(4)√．由异面直线的概念可知这个说法正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
知识点3 空间四边形
4．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)．则四边形EFGH的形状是( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．矩形 D．梯形
D [在△ABD中可得EH∥BD, EH＝eq \f(1,2)BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝eq \f(2,3)BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．]
类型1 空间两直线位置关系的判断
【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在正方体AC1中，因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．
(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]
判定两条直线是异面直线的方法有哪些？
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．
eq \O([跟进训练])
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
D [画出图形，得到结论．
(1) (2)
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，故选D．]
类型2 直线与直线平行的证明
【例2】 (教材P99例题改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB且EF＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝eq \f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
证明两条直线平行有哪三种方法？
(1)一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．
(2)二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质．
(3)三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
eq \O([跟进训练])
2．如图，在三棱锥PABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°．求证：GH∥MN．
[证明] 如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，则M，N分别在BQ，CQ上．
并且eq \f(QM,MB)＝eq \f(QN,CN)＝eq \f(1,2)，则MN∥BC．
又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，所以GH∥MN．
类型3 等角定理及其应用
【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以A1M1AM，
所以四边形AMM1A1是平行四边形，
所以A1AM1M．
又因为A1AB1B，所以M1MB1B，
所以四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
所以B1M1∥BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
所以C1M1∥CM．
又∠BMC和∠B1M1C1的方向相同
所以∠BMC＝∠B1M1C1．
等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，这两种情况都有可能.
eq \O([跟进训练])
3．在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EFE1F1．
(2)∠EA1F＝∠E1CF1．
[证明] (1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EFeq \f(1,2)BD，同理E1F1eq \f(1,2)B1D1，
在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1，所以EFE1F1．
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
1．正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为eq \r(5)，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]
2．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD．
其中，正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
A [把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示，
AB⊥EF，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①②正确．]
3．如图所示，在三棱锥SMNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A [因为E，F分别是SN和SP的中点，
所以EF∥PN．同理可证HG∥PN，
所以EF∥HG．]
4．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是 ．
相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
5．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有 对．
3 [AP与BC异面，BP与AC异面，PC与AB异面．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向都相反，那么这两个角的大小关系怎样？若方向一同一反呢？
[提示] 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相反，那么这两个角相等；若方向一同一反，这两个角互补．
2．空间中两条直线有哪几种位置关系？
[提示] 相交、平行、异面．
3．判定或证明两条直线异面的思路有哪些？
[提示] (1)既不平行也不相交的两条直线为异面直线．
(2)与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
(3)反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而证明原结论是正确的．
1．能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
2．理解异面直线的定义，会判断两直线异面．(难点)
3．理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题．(一般)
1．借助两直线平行的判定与性质，提升逻辑推理的核心素养．
2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养．
前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系：相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质．
思考：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件，在空间中这两个结论还成立吗？
知识点1 平行直线与等角定理
1．平行直线
(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)平行线的传递性
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．
符号表述：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,a∥c))⇒b∥c．
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示] 相等或互补．
1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )
A．30° B．30°或150°
C．150° D．以上结论都不对
B [因为AB∥PQ，BC∥QR，
所以∠PQR与∠ABC相等或互补．
因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．]
2．如图，AA′是长方体ABCDA′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有 条．
3 [因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，
所以AA′∥BB′，AA′∥DD′．
又四边形BCC′B′为长方形，
所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′．
故与AA′平行的棱共有3条，分别是BB′，CC′，DD′．]
知识点2 异面直线的判定
1．异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线．
2．异面直线的画法：
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图所示．
3．异面直线的一种判断方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(2)若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b异面．( )
(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．( )
(4)若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面． ( )
[提示] (1)×．没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线．
(2)×．若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．
(3)×．若a，b是异面直线，a，c是异面直线，那么b，c可以平行，可以相交，可以异面．
(4)√．由异面直线的概念可知这个说法正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
知识点3 空间四边形
4．已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(2,3)．则四边形EFGH的形状是( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．矩形 D．梯形
D [在△ABD中可得EH∥BD, EH＝eq \f(1,2)BD，在△CBD中可得FG∥BD，FG＝eq \f(2,3)BD，所以EH，FG平行且不相等，所以四边形EFGH是梯形．]
类型1 空间两直线位置关系的判断
【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 ．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在正方体AC1中，因为A1D1BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．
(2)因为B∈平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，BB1C，又A1平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．
(3)因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．
(4)由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]
判定两条直线是异面直线的方法有哪些？
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aα，B∈α，Bl，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．
eq \O([跟进训练])
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
D [画出图形，得到结论．
(1) (2)
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，故选D．]
类型2 直线与直线平行的证明
【例2】 (教材P99例题改编)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
所以EF∥AB且EF＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝eq \f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
证明两条直线平行有哪三种方法？
(1)一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．
(2)二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质．
(3)三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
eq \O([跟进训练])
2．如图，在三棱锥PABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°．求证：GH∥MN．
[证明] 如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，因为M，N分别为△PAB，△PAC的重心，则M，N分别在BQ，CQ上．
并且eq \f(QM,MB)＝eq \f(QN,CN)＝eq \f(1,2)，则MN∥BC．
又G，H分别为PB，PC的中点，所以GH∥BC，所以GH∥MN．
类型3 等角定理及其应用
【例3】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，所以A1M1AM，
所以四边形AMM1A1是平行四边形，
所以A1AM1M．
又因为A1AB1B，所以M1MB1B，
所以四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
所以B1M1∥BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
所以C1M1∥CM．
又∠BMC和∠B1M1C1的方向相同
所以∠BMC＝∠B1M1C1．
等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，这两种情况都有可能.
eq \O([跟进训练])
3．在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点．
求证：(1)EFE1F1．
(2)∠EA1F＝∠E1CF1．
[证明] (1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EFeq \f(1,2)BD，同理E1F1eq \f(1,2)B1D1，
在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AA1DD1，AA1BB1，所以B1BDD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1，所以EFE1F1．
(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证：A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
1．正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
B [设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为eq \r(5)，又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．]
2．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD．
其中，正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
A [把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示，
AB⊥EF，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①②正确．]
3．如图所示，在三棱锥SMNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A [因为E，F分别是SN和SP的中点，
所以EF∥PN．同理可证HG∥PN，
所以EF∥HG．]
4．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是 ．
相交 [直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]
5．如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有 对．
3 [AP与BC异面，BP与AC异面，PC与AB异面．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向都相反，那么这两个角的大小关系怎样？若方向一同一反呢？
[提示] 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相反，那么这两个角相等；若方向一同一反，这两个角互补．
2．空间中两条直线有哪几种位置关系？
[提示] 相交、平行、异面．
3．判定或证明两条直线异面的思路有哪些？
[提示] (1)既不平行也不相交的两条直线为异面直线．
(2)与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
(3)反证法：证明立体几何问题的一种重要方法．证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而证明原结论是正确的．
1．能用空间平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
2．理解异面直线的定义，会判断两直线异面．(难点)
3．理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题．(一般)
1．借助两直线平行的判定与性质，提升逻辑推理的核心素养．
2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养．
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