人教B版（2019）高中数学必修第四册 第十章 复数 章末重点题型复习（原卷+解析卷）

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第十章：复数章末重点题型复习 题型一 复数的概念【例1】（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：①若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；②若a,b∈R且a>b，则a+i>b+i；③若a,b∈C，则复数a+bi的实部为a，虚部为b；④i的平方等于−1.其中正确命题的序号是（　　）A．① B．②C．③ D．④【答案】D【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.【详解】对于复数a+bi（a,b∈R），当a=0且b≠0时为纯虚数，在①中，若a=−1，则(a+1)i不是纯虚数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；在③中，只有当a,b∈R时，复数a+bi的实部才为a，虚部为b，③错误；在④中，i的平方等于−1，④正确.故选：D【变式1-1】（19-20高一·全国·课时练习）下列命题中是假命题的是（    ）A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集【答案】C【分析】由复数的分类，根据实数、虚数、纯虚数的定义即可知选项的正误【详解】自然数是大于等于0的整数集；复数分为实数和虚数两大部分，而0属于实数集，不属于虚数集，且实数是指虚部为0的复数集合，而虚数是指虚部不为0的复数集合，因此，实数与虚数没有公共元素，C是假命题故选：C【点睛】本题考查了复数中实数、虚数、纯虚数的概念，由此判断数集间的关系【变式1-2】（多选）（2024高一·全国·专题练习）下列命题中正确的是（　　）A．若x是实数，则x是复数B．若z是虚数，则z不是实数C．复数a+i与b+3i（a,b∈R）不可能相等D．−1没有平方根【答案】ABC【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得.【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确；对于D，因为−1的平方根为±i，D错误．故选：ABC【变式1-3】（多选）（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ）A．任意两个复数不能比大小B．z∈C⇒z2≥0C．z1>z2⇒z1−z2>0D．复数a+bi=c+dia,b,c,d∈R⇒a=c且b=d【答案】CD【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可.【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误；对于B，当z=i∈C则z2=−1<0，故B错误；对于C，因为z1>z2，所以z1∈R,z2∈R，所以由z1>z2可以得到z1−z2>0，故C正确；对于D，若复数a+bi=c+dia,b,c,d∈R，则a=c且b=d，故D正确.故选：CD.【变式1-4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）A．复数和其共轭复数都是成对出现的B．实数不存在共轭复数C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称D．复数和其共轭复数的模相等【答案】AD【分析】利用共轭复数的概念逐一判断.【详解】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确；对于B：实数的共轭复数是他本身，错误；对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误；对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确.故选：AD.题型二 复数的实部与虚部【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）分别写出下列各复数的实部与虚部．(1)−3+2i；(2)3−5i；(3)−7；(4)8i．【答案】(1)实部为−3，虚部为2；(2)实部为3，虚部为−5；(3)实部为−7，虚部为0；(4)实部为0，虚部为8.【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解.【详解】（1）−3+2i的实部为−3，虚部为2；（2）3−5i的实部为3，虚部为−5；（3）−7的实部为−7，虚部为0；（4）8i实部为0，虚部为8.【变式2-1】（2024高二上·广东·学业考试）若复数z=3−5i，则复数z的虚部为（    ）A．5i B．-5 C．5 D．-5i【答案】B【分析】根据复数的概念求出答案.【详解】z=3−5i的虚部为-5.故选：B【变式2-2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）复数z=2−34i的虚部为（    ）A．2 B．−34 C．2−34 D．2−34 i【答案】C【分析】根据复数虚部的知识求得正确答案.【详解】依题意，复数z=2−34i的虚部为2−34.故选：C【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）以−5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的复数是（    ）A．2−2i B．2+2i C．−5+5i D．5+5i【答案】A【分析】化简复数5i+2i2，再利用复数的概念求解即得.【详解】−5+2i的虚部为2，5i+2i2=−2+5i的实部为−2，所以所求复数的实部为2，虚部为−2，复数为2−2i．故选：A【变式2-4】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知i为虚数单位，复数z=−2−i，则z的虚部是（    ）A．−1 B．1 C．i D．−i【答案】B【分析】求出z后再求其虚部.【详解】因为复数z=−2−i，所以z=−2+i，其虚部为1，故选：B．题型三 复数相等【例3】（21-22高一·全国·课后作业）若xi−2i2=y+2yi，x,y∈R，则复数x+yi等于（    ）A．−2+i B．4+2i C．1−2i D．1+2i【答案】B【分析】利用复数相等的条件即可得解.【详解】由i2=−1，得xi−2i2=2+xi，则2+xi=y+2yi，根据复数相等的充要条件得2=yx=2y，解得x=4y=2，故x+yi=4+2i．故选：B．【变式3-1】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）适合x−3i=(8x−y)i的实数x、y的值为（    ）A．x=0且y=3 B．x=0且y=−3C．x=5且y=3 D．x=3且y=0【答案】A【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．【详解】根据复数相等的定义可得，x=0−3=8x−y，解得x=0y=3.故选：A．【变式3-2】（20-21高一下·全国·课时练习）若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i3sinθ，θ∈R，z1=z2，则θ等于（　　）A．kπk∈Z B．2kπ+π3k∈ZC．2kπ±π6k∈Z D． 2kπ+π6k∈Z【答案】D【分析】两复数相等，则实部与虚部分别对应相等.【详解】由复数相等的定义可知，sin2θ=cosθ,cosθ=3sinθ,∴sinθ=12，cosθ=32.∴θ=π6+2kπ,k∈Z，故选：D.【变式3-3】（2022·浙江·高考真题）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（    ）A．a=1,b=−3 B．a=−1,b=3 C．a=−1,b=−3 D．a=1,b=3【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+bi，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.【变式3-4】（2022高一·全国·专题练习）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（    ）A．75 B．－115 C．－185 D．5【答案】B【分析】利用复数相等列方程组，即可求出a、b，再求a＋b.【详解】(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以−3a−2b=3,b−a=−5,解得a＝75，b＝－185， 故有a＋b＝－115.故选：B题型四 复数的类型求参数【例4】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若复数z=a2+2a−3+a+3i是纯虚数，则实数a的值是（    ）．A．1 B．3 C．−3 D．−1【答案】A【分析】利用纯虚数的概念即可求解.【详解】因为复数z=a2+2a−3+a+3i是纯虚数，所以a2+2a−3=0a+3≠0，解得a=1，所以实数a的值是1.故选：A.【变式4-1】（2018·江西·一模）若a∈R，则“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.【详解】若a=2，则z=4i为纯虚数；若z=a2−4+(a+2)i为纯虚数，a∈R，则有a2−4=0a+2≠0，解得a=2.所以，当a∈R时，“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的充要条件.故选：C【变式4-2】（22-23高一下·广东清远·期中）已知复数z=m−1+m+3i，其中i为虚数单位．若复数z为实数，则m的值为（    ）A．m=1 B．m=−1 C．m=3 D．m=−3【答案】D【分析】根据复数的概念可得方程，进而即得.【详解】因为复数z=m−1+m+3i，复数z为实数，则m+3=0，解得m=−3.故选：D.【变式4-3】（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）若复数z=a2−3a+2+a−1i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a= .【答案】2【分析】根据实部为0且虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为复数z=a2−3a+2+a−1i为纯虚数，所以a2−3a+2=0a−1≠0，解得a=2.故答案为：2【变式4-4】（22-23高一·全国·课堂例题）当m为何实数时，复数z=m2+m−2+m2−1i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？【答案】(1)m=±1(2)m≠±1(3)m=−2(4)m=1【分析】（1）根据虚部为0可得答案；（2）根据虚部不为0可得答案；（3）根据实部为0 虚部不为0可得答案；（4）根据实部虚部都为0可得答案．【详解】（1）当m2−1=0，即m=±1时，复数z是实数；（2）当m2−1≠0，即m≠±1时，复数是虚数；（3）当m2+m−2=0且m2−1≠0，即m=−2时，复数z是纯虚数；（4）当m2+m−2=0且m2−1=0，即m=1时，复数z=0．题型五 复数的坐标表示【例5】（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）复数z=a+2−a+3i在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,−2 B．−3,−2 C．−2,+∞ D．−∞,−3【答案】D【分析】由复数z确定点Z的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于a的一元一次不等式组即可求出a的范围.【详解】复数z=a+2−a+3i在复平面上对应的点Z的坐标为a+2,−a+3，根据第二象限坐标的特点可得a+2<0−a+3>0，从而可得a<−3.故选：D.【变式5-1】（2023高二上·黑龙江·学业考试）如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（    ）A．2+2i B．3+i C．3+3i D．3+2i【答案】D【分析】根据复数的坐标表示分析判断.【详解】由题意可知：点P的坐标为3,2，所以复平面内点P所表示的复数为3+2i.故选：D.【变式5-2】（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）复数z=i−1在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限【答案】D【分析】直接根据复数的几何意义判断即可.【详解】复数z=i−1在复平面内所对应的点的坐标为−1,1，位于第二象限.故选：D.【变式5-3】（22-23高一下·广东珠海·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是3,4，则z=（    ）A．3−4i B．4−3i C．3+4i D．4+3i【答案】A【分析】首先写出复数z，再得到其共轭复数.【详解】因为复数z对应的点的坐标是3,4，所以z=3+4i，所以z=3−4i.故选：A【变式5-4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（   ）A．1−32＋1+32i B．1+32＋1−32iC．5−32＋3+32i D．5+32＋3−32i【答案】CD【分析】根据题意，得到AB对应的复数为1+i，得到AC对应的复数为1+i(cos60∘+isin60∘)或或1+i[cos(−60∘)+isin)(−60∘)]，结合OC＝OA＋AC，即可求解.【详解】由正△ABC的顶点A,B对应的复数为2+i,3+2i，可得AB对应的复数为3+2i−2+i=1+i，则AC对应的复数为1+i(cos60∘+isin60∘)=1−32+1+32i，或1+i[cos(−60∘)+isin(−60∘)]=1+32+1−32i，所以OC⃗=OA→+AC→对应的复数为2+i+1−32+1+32i或2+i+1+32+1−32i，即5−32+3+32i或5+32+3−32i.故选：CD．题型六 坐标轴上的复数【例6】（20-21高三上·西藏·期中）设复数z=a+bi(a∈R,b∈R)，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有z=1，则a+b=（    ）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】根据复数的几何意义得a,b．【详解】∵z它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴a=0，又z=1，∴b=1，∴a+b=1．故选：C．【变式6-1】（19-20高一下·全国·课后作业）复数z=(a2−2a)+(a2−a−2)i(i为虚数单位,a∈R)对应的点在虚轴上,则A．a≠2或a≠1 B．a=0且a=2 C．a=0或a=2 D．a=0【答案】C【解析】根据复数对应点在虚轴上，实部为零列方程，由此求得a的值.【详解】∵z在复平面内对应的点在虚轴上,∴a2−2a=0,解得a=0或a=2.故选：C【点睛】本小题主要考查复数虚轴的概念，属于基础题.【变式6-2】（21-22高一下·上海徐汇·期末）复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ）A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数【答案】D【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设OZ=0,aa≠0，所以对应复数为aia≠0，此复数为纯虚数，故选：D.【变式6-3】（21-22高一·湖南·课后作业）若复数z=a2−2a+a2−a−2i对应的点在虚轴上，求实数a应满足的条件．【答案】a＝0或2【分析】y轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解.【详解】∵复数z=a2−2a+a2−a−2i对应的点在虚轴上，∴a2−2a=0，解得a=2或a=0.【变式6-4】（22-23高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数z=m2−2m−8+m2+3m−10i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第三象限．【答案】(1)m=−2或m=4(2)−202m2−m−3<0， 解得10，∴e3i对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：由题意可得：e2πi=cos2π+isin2π=1为实数，故B正确；对于C：由题意可得：exi3+i=cosx+isinx3−i3+i3−i=3cosx+sinx−cosx−3sinxi4 =12sinx+π3−i12cosx+π3，则exi3+i=12sinx+π32+−12cosx+π32，=14sin2x+π3+cos2x+π3=12，故C正确；对于D：由题意可得：eπ3i=cosπ3+isinπ3=12+32i，则eπ3i的共轭复数为12−32i，故D错误；故选：ABC.题型十二 复数的四则运算【例12】（2024高一下·全国·专题练习）复数2−i1−3i在复平面内对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法运算结合复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可得：2−i1−3i＝2−i1+3i1−3i1+3i＝5+5i10＝12+12i，所以该复数对应的点的坐标为12,12，该点位于第一象限．故选：A.【变式12-1】（21-22高二下·陕西渭南·期末）z=7−ai1+i为纯虚数，则实数a=（    ）A．−7 B．−5 C．7 D．5【答案】A【分析】先由复数乘法运算得复数的代数形式，再由复数为纯虚数的充要条件得不等式组，求解可得.【详解】z=7−ai1+i=7+7i−ai−ai2=7+a+7−ai，又∵复数z为纯虚数，∴7+a=07−a≠0，解得a=−7．故选：A．【变式12-2】（2024·甘肃陇南·一模）已知a为实数,复数z=a−2i1+i+i为纯虚数,则a=A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】C【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.【详解】由z=a−2i1+i+i=a+2+a−1i为纯虚数，∴a+2=0a−1≠0，∴a=−2.故选：C.【变式12-3】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数z满足z(2−i)=i2024，则z的虚部为 ．【答案】15/0.2【分析】根据复数的乘法运算以及i的周期性即可求解.【详解】因为i2024=i4506=1，由z(2−i)=i2024可得z=12−i=2−i2−i2+i=25+15i，故z的虚部为15.故答案为：15【变式12-4】（22-23高一下·河北沧州·期中）已知复数z=1+2i2，则z在复平面内对应的点的坐标为（    ）A．−3,−4 B．3,−4 C．3,4 D．−3,4【答案】D【分析】先化简复数，根据实部虚部写出点的坐标.【详解】z=1+2i2=−3+4i，即z在复平面内对应的点的坐标为(−3,4).故选:D.题型十三 复数运算的相关辨析【例13】（多选）（2024·云南·一模）已知z1、z2都是复数，下列正确的是（    ）A．若z1=z2，则z1=±z2B．z1z2=z1z2C．若z1+z2=z1−z2，则z1z2=0D．z1⋅z2=z1⋅z2【答案】BD【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.【详解】对于A：令z1=2+i、z2=1+2i，则z1=z2=5，显然不满足z1=±z2，故A错误；对于C：令z1=1+i、z2=1−i，则z1+z2=2，z1−z2=2i，所以z1+z2=z1−z2，但是z1z2=1+i1−i=2，故C错误；设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，所以z1⋅z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci，则z1⋅z2=ac−bd+ad+bci=ac−bd2+ad+bc2=ac2+bd2+ad2+bc2，又z1⋅z2=a2+b2⋅c2+d2=ac2+bd2+ad2+bc2，所以z1⋅z2=z1⋅z2，故B正确；z1⋅z2=ac−bd−ad+bci，又z1⋅z2=a−bic−di=ac−bd−ad+bci，所以z1⋅z2=z1⋅z2，故D正确.故选：BD【变式13-1】（多选）（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）设复数z的共轭复数为z，i为虚数单位，则下列命题正确的是（    ）A．若z⋅z=0，则z=0B．若z−z∈R，则z∈RC．若z=cosπ5+isin2π5，则z=1D．若z−1=z+1，则z−1−i的最小值是1【答案】ABD【分析】设复数z=a+bia,b∈R，结合复数的基本概念，以及运算法，复数的模的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】设复数z=a+bia,b∈R，对于A中，由z⋅z=a+bia−bi=a2+b2=0，所以a=b=0，所以z=0，所以A正确；对于B中，由z−z=a+bi−a−bi=2bi∈R，所以b=0，即z=a∈R，所以B正确；对于C中，由z=cosπ5+isin2π5，则z=cos2π5+sin22π5≠1，所以C不正确；对于D中，因为z−1=z+1，所以a−1+bi=a+1+bi，所以(a−1)2+b2=(a+1)2+b2，即a=0，所以z=bi,b∈R，所以z−1−i=−1+b−1i=1+(b−1)2≥1，所以z−1−i的最小值为1，所以D正确.故选：ABD.【变式13-2】（多选）（23-24高一下·福建三明·阶段练习）已知z1,z2是复数，下列说法正确的是A．z12=z12 B．若z1z2=0，则z1=0或z2=0C．z1+z2=z1+z2 D．若z1=z2，则z1=±z2【答案】BC【分析】设z1=a+bi,z2=c+di，根据复数模、乘法以及共轭复数的概念，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】设z1=a+bi,z2=c+di，a,b,c,d∈R.对A：z12=a2+b2∈R，z12=a+bi2=a2−b2+2abi，显然z12≠z12，A错误；对B：z1z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci，若z1z2=0，则ac=bd,ad=−bc， 解得c=d=0或a=b=0，也即z1=0或z2=0，故B正确；对C：z1+z2=a+c+b+di，z1+z2=a+c−b+di；z1+z2=a−bi+c−di=a+c−b+di，z1+z2=z1+z2，故C正确；对D：若z1=z2 =1，则可取z1=1,z2=i，但z1≠±z2，故D错误.故选：BC.【变式13-3】（多选）（22-23高一上·湖南长沙·期末）已知i为虚数单位， z1=12+32i ， z2=12−32i .则下列选项中正确的有（　　）A．z1=z2B．z1=z2C．z1>z2D．在复数范围内z1,z2为方程x2−x+1=0的根【答案】ABD【分析】对于A，结合复数模公式即可判断；对于B，结合共轭复数的定义即可判断；对于C，结合虚数不能比较大小即可判断；对于D，求解方程x2−x+1=0的根即可判断．【详解】对于A：∵ z1=12+32i，z2=12−32i .∴z1=z2=1，故A正确.对于B： z1=z2=12+32i ，故B正确.对于C：虚数不能比较大小，故C错误.对于D：由求根公式可知x2−x+1=0的两个根为 z1=12+32i ， z2=12−32i ，D正确．故选：ABD．【变式13-4】（多选）（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知复数z1，z2满足z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，且z1−z2=2，则（    ）A．z1⋅z2=1 B．z1+z2=3C．若α=0，则cosβ=0 D．α−β=kπ+π2k∈Z【答案】ACD【分析】由z1−z2=2，平方后可推出cos(α−β)=0，即可判断D，由此可判断C；根据复数的乘法以及模的计算公式可判断A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断B；【详解】由题意知复数z1，z2满足z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，且z1−z2=2，则z1−z2=(cosα−cosβ)+i(sinα−sinβ)，故(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2=2，即2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2，得cos(α−β)=0，故α−β=kπ+π2k∈Z，D正确；z1⋅z2=(cosα+isinα)⋅(cosβ+isinβ)=cosαcosβ−sinαsinβ+i(cosαsinβ+sinαcosβ) =cos(α+β)+isin(α+β)，得z1⋅z2=cos2(α+β)+sin2(α+β)=1，A正确；由于z1+z2=(cosα+cosβ)+i(sinα+sinβ)，故z1+z2=(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2+2cos(α−β)=2，B错误；由以上D的分析可知，若α=0，则cos(−β)=0，故cosβ=0，C正确；故选：ACD题型十四 复数方程问题【例14】（2023·全国·模拟预测）在复数范围内方程x2+2x+2=0的根为x1，x2，则x1=（    ）A．22 B．2 C．2 D．1【答案】B【分析】根据复数系方程求x1,x2，再结合模长公式运算求解.【详解】由x2+2x+2=0得(x+1)2=−1，解得x=−1+i或x=−1−i，若x1=−1+i，则x1=2；若x1=−1−i，则x1=2；综上所述：x1=2.故选：B．【变式14-1】（（多选）（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）A．若复数z的共轭复数为z，则z⋅z=z2=z2B．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则q=−8C．若复数z满足z−i=1，则z的最大值为2D．已知ω=−12+32i是方程x3=1在复数域的一个根，则ω2024=ω【答案】ACD【分析】根据对数的定义与运算法则计算即可.【详解】对于A，设z=a+bi，则z⋅z=z2=z2=a2+b2，对；对于B，对于实系数方程存在复数根，则必为一对共轭复数，故1−3i1+3i=q⇒q=10，错；对于C，令z=x+yi,(x,y∈R)，由复数模的几何意义，z−i=1可表示为x2+(y−1)2=1，即z在圆心为(0,1)，半径为1的圆上，数形结合易知z的最大值为2，对；对于D，x3=1⇒x−1x2+x+1=0，则有x2+x+1=0或x=1，所以ω为x2+x+1=0的一个根，即ω2+ω+1=0，且ω3=1，当ω=−12+32i时，ω2024=ω3674⋅ω2=ω2=−ω−1=−12−32i=ω，对.故选：ACD【变式14-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知a，b，c为实数，若x1=1，x2=1−i，x3=1+i（i为虚数单位）为方程x3+ax2+bx+c=0的三个解，则a+b−c= ．【答案】3【分析】根据方程的根得到x3+ax2+bx+c=x−1⋅x−1−i⋅x−1+i，化简计算出a=−3，b=4，c=−2，得到答案.【详解】依题意得，x3+ax2+bx+c=x−1⋅x−1−i⋅x−1+i=x−1x2−2x+2=x3−3x2+4x−2，所以a=−3，b=4，c=−2．所以a+b−c=−3+4−−2=3．故答案为：3【变式14-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z=1−i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的一个根，则p+q= .【答案】0【分析】根据在复数范围内，实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，结合韦达定理得可得答案.【详解】因为在复数范围内，实系数方程x2+px+q=0的两个根是互为共轭复数的，所以实系数方程x2+px+q=0在复数范围内的另一个根是1+i，结合韦达定理得1−i+1+i=−p(1−i)(1+i)=q，解得p=−2q=2，所以p+q=0.故答案为：0.【变式14-4】（2024·浙江·模拟预测）已知1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2−2x+m=0的一个根，则m=（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2−2x+m=0的一个根，所以1+2i2−21+2i+m=0，整理得到: m−5=0即m=5，故选：D.题型十五 复数的因式分解【例15】（20-21高一下·山西吕梁·期中）在复数范围内，将多项式x4−16分解成为一次因式的积，则x4−16= ．【答案】(x+2)(x−2)(x+2i)(x−2i)【分析】根据平方差公式在复数范围内分解因式即可.【详解】解：x4−16=(x2)2−42=(x2+4)(x2−4)=(x+2)(x−2)[x2−(2i)2]=(x+2)(x−2)(x+2i)(x−2i)故答案为：(x+2)(x−2)(x+2i)(x−2i)【变式15-1】（22-23高一·全国·课时练习）在复数范围内分解因式：x4−6x2−7= ．【答案】x+ix−ix−7x+7【分析】首先分解为x2+1x2−7，再在复数范围内分解因式.【详解】x4−6x2−7=x2+1x2−7=x+ix−ix−7x+7故答案为：x+ix−ix−7x+7【变式15-2】（21-22高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内，把多项式x2+1分解为一次因式的积：x2+1= .【答案】(x−i)(x+i)【分析】利用i2=−1将原式化为x2−i2，再由平方差公式分解即可.【详解】x2+1=x2−i2=(x−i)(x+i).故答案为：(x−i)(x+i)【变式15-3】（20-21高一下·上海·课时练习）（1）在实数集中分解因式：x4−x2−6= ；（2）在复数集中分解因式：x4−x2−6= ；x2+2cosθx+1= ．【答案】 x2+2x−3x+3 x+2ix−2ix−3x+3 x+cosθ+isinθx+cosθ−isinθ【分析】（1）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解即可得解；（2）利用十字相乘法与平方差公式进行因式分解可将代数式x4−x2−6进行因式分解，利用完全平方公式结合平方差公式可将代数式x2+2cosθx+1化简.【详解】（1）x4−x2−6=x2+2x2−3=x2+2x+3x−3；（2）x4−x2−6=x2+2x2−3=x+2ix−2ix+3x−3，x2+2cosθx+1=x2+2cosθx+cos2θ+sin2θ=x+cosθ2−isinθ2=x+cosθ+isinθx+cosθ−isinθ.故答案为：（1）x2+2x−3x+3；（2）x+2ix−2ix−3x+3，x+cosθ+isinθx+cosθ−isinθ.【变式15-4】（22-23高三·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：2x2+x+1= ．【答案】2x+14+74ix+14−74i【分析】根据复数范围内的分解因式方法计算直接得出.【详解】2x2+x+1，=2x2+12x+12，=2x2+142+716，=2x2+142−716i2，=2x+14+74ix+14−74i，故答案为：2x+14+74ix+14−74i.题型十六 复数的三角形式与运算【例16】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）复数z=−sinπ7+icosπ7的辐角主值为（    ）A．π7 B．13π7 C．9π14 D．5π14【答案】C【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.【详解】因为x=−sinπ7<0,y=cosπ7>0，所以z=−sinπ7+icosπ7的辐角主值为arctanyx+π=arctancosπ7−sinπ7+π=π7−π2+π=914π.故选：C【变式16-1】（23-24高三上·上海虹口·期中）设复数z=cosπ2+α+2sinαi（i为虚数单位）且α∈−π2,0，若z=1，则tan2α= ．【答案】−22【分析】由诱导公式、复数模的求法列方程求得sin2α=13，结合角的范围可得tanα=−22，再应用倍角正切公式求值即可.【详解】由题设z=−sinα+2sinαi，则|z|=(−sinα)2+2sinα2=1，所以sin2α=13，又α∈−π2,0，则sinα=−33，cosα=63，所以tanα=−22，则tan2α=2tanα1−tan2α=−22.故答案为：−22【变式16-2】（2024高一下·全国·专题练习）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω=cos2π3+i⋅sin2π3，则ω4的值是 ．【答案】−12+32i【分析】根据棣莫弗公式直接计算即可.【详解】因为ω=cos2π3+i⋅sin2π3，由棣莫弗公式可得：ω4=(cos2π3+i⋅sin2π3)4=cos8π3+i⋅sin8π3=cos3π−π3+i⋅sin3π−π3=−cosπ3+i⋅sinπ3=−12+32i.故答案为：−12+32i.【变式16-3】（2024高一下·全国·专题练习）cosπ6+isinπ6×cosπ3+isinπ3= .【答案】i【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得.【详解】cosπ6+isinπ6×cosπ3+isinπ3=cosπ6+π3+isinπ6+π3=cosπ2+isinπ2=i.故答案为：i.【变式16-4】（2024高一下·全国·专题练习）已知z=a+bi=rcosθ+isinθ，用复数的三角形式表示它的共轭复数z= ．【答案】rcos−θ+isin−θ【分析】根据题意知z=rcosθ−isinθ=rcos−θ+isin−θ得到答案.【详解】因为z=a+bi=rcosθ+isinθ=rcosθ+irsinθ，故z=a−bi=rcosθ−irsinθ=rcosθ−isinθ=rcos−θ+isin−θ.故答案为： rcos−θ+isin−θ