人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.1 复数的加法与减法学案

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随着虚数的产生，数系得到了进一步的扩充．同时，随着科学技术的进步，逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用．而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算．1747年，法国著名的数学家达朗贝尔(1717—1783)指出，如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算，那么运算的结果总是a＋bi的形式，其中a，b都是实数．他开创了复数四则运算的先河．
思考：复数中的加法、减法应如何规定，也能满足类似于实数加法的交换律与结合律吗？
知识点1 复数代数形式的加、减法
1．运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
(2)两个共轭复数的和一定是实数．
2．加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1，
(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数的加法运算符合实数加法的运算律．( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i C．i D．－i
A [原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i．]
知识点2 复数加、减法的几何意义
(1)若复数z1，z2对应的向量分别为eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))．
(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；
||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|．
3．(1)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则eq \(CD,\s\up7(→))对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i
(2)已知向量eq \(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为2－3i，向量eq \(OZ,\s\up8 (→))2对应的复数为3－4i，则向量eq \(Z1Z2,\s\up8(→))对应的复数为________．
(1)D (2)1－i [(1)依题意有eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq \(CD,\s\up7(→))对应的复数为4－2i．故选D．
(2)eq \(Z1Z2,\s\up7(→))＝eq \(OZ,\s\up8(→))2－eq \(OZ,\s\up8(→))1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．]
类型1 复数的加减法运算
【例1】 (1)(教材P35例1改编)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝ ．
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z．
(1)1＋i [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i．]
(2)[解] 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i．
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．
(3)[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)．
又|z|＋z＝1＋3i，所以eq \r(x2＋y2)＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x2＋y2)＋x＝1，,y＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝3，))
所以z＝－4＋3i．
复数代数形式的加、减法运算的技巧是怎样的？
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减法运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
eq \O([跟进训练])
1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝ ；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝ ；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝ ．
(1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i [(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i．
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i
＝－7＋7i．
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i．]
类型2 复数加减法的几何意义
【例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0, 3＋2i，－2＋4i．求：
(1)eq \(AO,\s\up7(→))表示的复数；
(2)对角线eq \(CA,\s\up7(→))表示的复数；
(3)对角线eq \(OB,\s\up7(→))表示的复数．
[思路探究] 利用复数的几何意义以及向量的运算求解．
[解] (1)因为eq \(AO,\s\up7(→))＝－eq \(OA,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))表示的复数为－3－2i．
(2)因为eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))，所以对角线eq \(CA,\s\up7(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．
(3)因为对角线eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))，所以对角线eq \(OB,\s\up7(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i．
利用复数加、减运算的几何意义解题方法是怎样的？
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量eq \(AB,\s\up7(→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减起点对应的复数)．
eq \O([跟进训练])
2．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i．
(1)求eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解] (1)eq \(AB,\s\up7(→))对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i．eq \(BC,\s\up7(→))对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i．eq \(AC,\s\up7(→))对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i．
(2)由(1)知|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r((－3)2＋12)＝eq \r(10)，
|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r((－2)2＋22)＝2eq \r(2)，
所以|eq \(AB,\s\up7(→))|2＋|eq \(AC,\s\up7(→))|2＝|eq \(BC,\s\up7(→))|2，
所以△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|
＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(2)＝2．
类型3 复数模的最值问题
1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？
[提示] 若z1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0D⇒/z1＞z2．
如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i．
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
[提示] 复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
【例3】 若z∈C，i为虚数单位，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
[思路探究] 根据|z＋2－2i|＝1，结合复数减法的模的几何意义，判断出z对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|z－2－2i|的最小值．
[解] 由|z＋2－2i|＝1得|z－(－2＋2i)|＝1，因此复数z对应的点Z在以z0＝－2＋2i对应的点Z0为圆心，1为半径的圆上，如图所示．
设y＝|z－2－2i|，则y是Z点到2＋2i对应的点A的距离．又|AZ0|＝4，所以由图知ymin＝|AZ0|－1＝3．
转化思想与数形结合思想在复数模问题中的应用
(1)|z1－z2|表示复平面内复数z1，z2对应的点Z1与Z2之间的距离．在应用时，要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式；
(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
eq \O([跟进训练])
3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．
[解] 由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，
又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4．
即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4．
1．若实数x，y满足(x＋i)＋(1－yi)＝2，则xy的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
A [依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝2，,1－y＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以xy＝1．]
2．若复数z1＝3＋i，z2＝2－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [由复数的运算法则可得z1－z2＝(3＋i)－(2－i)＝1＋2i，其在复平面内对应的点为(1,2)，所以z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．]
3．设z1＝2＋bi(a，b∈R)，z2＝a＋i(a，b∈R)，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i
D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋a＝0，,b＋1＝0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1，))
所以a＋bi＝－2－i．]
4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为 个．
1 [依题意设z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝eq \r(25＋b2)，
而|4－3i|＝eq \r(42＋(－3)2)＝5，
所以eq \r(25＋b2)＝5，即b＝0．]
5．若在复平面上的▱ABCD中，eq \(AC,\s\up7(→))对应的复数为6＋8i，eq \(BD,\s\up7(→))对应的复数为－4＋6i，则eq \(DA,\s\up7(→))对应的复数是 ．
－1－7i [由复数加、减法的几何意义可得eq \(DA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up7(→))－eq \(BD,\s\up7(→)))，其对应的复数为eq \f(1,2)(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
[提示] 是复数，唯一确定．
2．复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些？
[提示] (1)设复数z1，z2对应的两点Z1，Z2的距离为d，由复数减法的几何意义，可得复平面内两点间的距离公式d＝|z1－z2|．
(2)|z－z1|＝r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．
(3)|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段垂直平分线．
1．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．(重点)
2．理解复数加、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)
1．通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养直观想象的素养．
2．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养．
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up7(→))，eq \(OZ2,\s\up7(→))为邻边的平行四边形的对角线eq \(OZ,\s\up7(→))所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量eq \(OZ2,\s\up7(→))的终点指向向量eq \(OZ1,\s\up7(→))的终点的向量eq \(Z2Z1,\s\up7(→))所对应的复数