北京市师达中学2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试题

这是一份北京市师达中学2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，中边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是折叠凳及其侧面示意图，若，则折叠凳的宽可能为（ ）
A．B．C．D．
5．右图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是（ ）

A．3B．4C．5D．6
7．小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：
求作：，使
作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；
（4）过点画射线，则．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由可得，进而可证
B．由可得，进而可证
C．由可得，进而可证
D．由“等边对等角”可得
8．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是（）

A．BD=CDB．∠ADB=∠ADCC．S1=S2D．AD=BC
9．如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（）
A．B．C．D．
10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，．在轴上取一点，过点作直线垂直于直线，将关于直线的对称图形记为，当和过点且平行于轴的直线有交点时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图，图中的值为 ．

12．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得．
13．如图，在中，，垂足为D．若，则的长为 ．
14．如图，，于点．若，则 （用含的式子表示）．

15．如图，的垂直平分线交于点D．则的大小为 ．

16．如图，在四边形中，，若平分，则四边形的面积为 ．
17．如图，D是△ABC内部的一点，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD，下列结论中，①∠DAC＝∠DCA；②AB＝AC；③BD⊥AC；④BD平分∠ABC．所有正确结论的序号是 ．
18．平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为 ．

三、解答题
19．如图，在中，，求证：．
20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．
(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
21．如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
22．如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴_________．
∵平分，
∴．
∴．
∴_________．
在中，，
∴（____________________________________________）（填推理依据）．
∴．
23．已知：如图，AB=AC=CD，AD=BD，试求∠BAC的度数.
24．如图，在中，，D是边上一点，连接，，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求证：．
25．如图，在△ABC中，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G，连接BG、CG；
（2）在（1）条件下，∠BAC和∠BGC有何数量关系？并证明你的结论．
26．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.
（1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）；
（2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.
27．对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”．
(1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______．
(2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．
①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______；
②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，故该选项是正确的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．
【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，只有C选项正确，符合题意，
故选：C．
3．B
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．
【详解】正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
4．D
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．确定第三边的取值范围是解题的关键．
由题意知，，即，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据三角形内角和为求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数即可．
【详解】解：如下图，
由三角形内角和定理得，
由全等三角形的性质可得．
故选：D．
6．B
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到的最小值即为的长，由此得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
根据两点之间线段最短，
，最小，
此时点与点重合．
所以的最小值即为的长，为4．
所以的最小值为4．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，熟记性质是解题的关键．
7．A
【分析】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定方法，熟练掌握作图是解题的关键．根据作法得到，再根据全等三角形的判定方法即可得到答案．
【详解】解：根据作法得到，
故由可得，
故选A．
8．D
【分析】根据等腰三角形的性质进行分析即可.
【详解】在△ABC中，AB=AC，如果D是BC中点或AD⊥BC，那么AD是△ABC角平分线.
因为BD=CD所以根据“三线合一”可得AD是△ABC角平分线.
因为∠ADB=∠ADC，∠ADB+∠ADC=180〬，所以∠ADB=∠ADC=90〬，所以AD⊥BC，那么AD是△ABC角平分线.
因为S1=S2，，所以AD是BC上的中线，所以AD是△ABC角平分线.
如果AD=BC，不一定能保证D是BC中点或AD⊥BC，故不能保证AD是△ABC角平分线.
【点睛】考核知识点：等腰三角形性质.理解“三线合一”是关键.
9．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和可知，当两个等腰三角形的顶角相等时则其底角也相等．
【详解】解：
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查坐标与图形的变化对称，根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出的两个极值，从而可以得到的取值范围．
【详解】解：如图所示，
当直线垂直平分时，和过点且平行于轴的直线有交点，
∵点在第一象限，，，，
∴，，
∴，
∵直线垂直平分，点是直线与轴的交点，
∴,,
∵,
∴，
∴,
∴当；
作，交过点且平行于轴的直线与，
当直线垂直平分和过点且平行于轴的直线有交点，
∵，轴，
∴四边形是平行四边形，
∴此时点与轴交点坐标为（，），
由图可知，当关于直线的对称图形为到的过程中，点符合题目中的要求，
∴的取值范围是，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了三角形的外角性质，利用三角形的外角性质列出等式解答即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．（或）
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
添加时，，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键．
由题意知，，则，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
14．
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．30°/30度
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出及的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出的度数即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵的垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
16．
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
作的延长线于，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．①③④．
【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，故①正确；
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD+∠DAC＝∠BCD+∠DCA，
即∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，故②错误；
∵AB＝BC，AD＝DC，
∴BD垂直平分AC，故③正确；
∴BD平分∠ABC，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质．
18．或
【分析】作CD⊥BE,根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当CE∥AB时; 当CE与AB不平行时.
【详解】
因为点A（4，3），点C（5，3），
所以AC∥OB
如图，当CE∥AB时，由平移性质可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE
当CE与AB不平行时，作CD⊥BE,则四边形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根据等腰三角形性质得DE’=DE=1,BE’=3；
所以E’（6,0）
故E的坐标是或
故答案为：或
【点睛】考核知识点：矩形性质，等腰三角形性质，平移性质.根据题意画出相关情况是关键.
19．见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
由题意知，，则，，进而可证．
【详解】证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据条件确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【详解】（1）解：∵点B关于y轴的对称点的坐标为（2，0），点C关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2），
∴点B点的坐标为（-2，0），点C的坐标为（-1，2），
如图，平面直角坐标系即为所求作．
（2）解：如图，△A1B1C1即为所求作．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21．证明见解析
【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理．
22．(1)见解析
(2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论．
此题考查了角平分线的作图、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，根据性质进行正确推理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．
∴．
故答案为：；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
23．
【分析】设，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，利用三角形内角和可求出x的值，从而利用可得出答案.
【详解】设


∵AD=BD






【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，进而结论得证；
（2）证明，则，由（1）知，，则，，由，可得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）详见解析；（2）∠BAC+∠BGC＝180°，证明详见解析．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在AB上截取AD＝AC，连接DG．首先证明△DAG≌△CAG（SAS），推出∠ABG+∠ACG＝180°，利用四边形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：（1）线段BC的中垂线EG如图所示：
（2）结论：∠BAC+∠BGC＝180°．
理由：在AB上截取AD＝AC，连接DG．
∵AM平分∠BAC，
∴∠DAG＝∠CAG，
在△DAG和△CAG中
∵
∴△DAG≌△CAG（SAS），
∴∠ADG＝∠ACG，DG＝CG，
∵G在BC的垂直平分线上，
∴BG＝CG，
∴BG＝DG，
∴∠ABG＝∠BDG，
∵∠BDG+∠ADG＝180°，
∴∠ABG+∠ACG＝180°，
∵∠ABG+∠BGC+∠ACG+∠BAC＝360°，
∴∠BAC+∠BGC＝180°．
【点睛】本题考查的知识点有简单的尺规作图，全等三角形的判定定理，四边形内角和定理等，此类题目需要用数形结合的方法，通过作辅助线，可以使题目简单明了，更容易得解.
26．（1）∠DBC；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.
【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；
（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；
（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.
【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=，
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD=，BC=DC，
∴∠DBC=∠BDC；
（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.
理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，
∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，
即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；
（3）AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.
证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=，
∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE，
∴，
∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE，
∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE，
∵AE=DE，
∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.
27．(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）首先得到A、B关于y轴对称，，得到P点在y轴上，然后根据“近关联点”的定义求解即可；
（2）①首先求出，然后利用勾股定理得到，，设点P的坐标为，得到，，根据题意得到，然后代入求解即可；
②过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，得到线段的“关联点”在的垂直平分线，证明出，是等边三角形，然后求出点C和点D的纵坐标，然后根据“远关联点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴A、B关于y轴对称，，
∵，
∴P点在y轴上，
∴线段的“关联点”是，，，
当时，，
∴，
∴，
∴是线段的“近关联点”，
当时，，
∴，
∴，
∴是线段的“近关联点”，
当时，，
∴，
∴，
∴点是线段AB的“远关联点”，
故答案为：，；
（2）∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
①设点P的坐标为，
∴，，
∵点在轴上，且为线段的“关联点”，
∴
∴
∴，
∴
∴点的坐标为．
故答案为：；
②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴点C和点D在的垂直平分线上
∴，
∴线段的“关联点”在的垂直平分线
∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”；
∵和关于对称
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∴点D的纵坐标为6
∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”；
综上所述，点的纵坐标或时，点为线段的“远关联点”．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了新定义，勾股定理，含角的直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握新定义，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
B
A
D
C
D