山西省实验中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份山西省实验中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在下列四个数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，一次函数是( )
A．B．C．D．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )
A．B．1,
C．6,7,8D．2,3,4
4．如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（ ）
A．B．2,3C．D．
5．如果点与关于y轴对称，则m，n的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．下列各曲线中，表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（ ）

A．B．C．D．
9．图，用两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，则下列关于大正方形边长的说法正确的是（ ）

A．是整数B．满足C．是分数D．是无理数
10．今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．的立方根是 ．
12．不用描点，直接写出下列各点所处象限或坐标轴.
点在 ；点在 ；点在 ；点在 ；点在 上；点在 上.
13．对于函数，当时， ．
14．函数是一次函数，则 ．
15．“五·一”小长假，李明与同学相约休闲广场放风筝，如图所示风筝线断了、风筝被挂在了树上A点处，他想知道此时风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上B点，发现风筝线多出2米，然后把风筝线沿直线向后拉开6米，发现风筝线末端刚好接触地而C点（如图所示），请你帮李明求出此时风筝距离地面的高度是 米．
16．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点坐标是．则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为 ．
17．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 .
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
19．在正方形网格中每个小正方形边长都是1个单位，如图建立直角坐标系，在坐标系中位置如图所示；
(1)作出关于y轴对称的；并写出的坐标；
(2)求出的面积．
20．阅读下列材料，解答相应的问题：
研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下．
①根据函数表达式列表：
②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象．
(1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整；
(2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论．
21．阅读下列材料并完成任务：
“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题.其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦.他精通数学、物理，聪慧过人.有一天，一位将军向他请教一个问题：如图1，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？
海伦认为以河边为镜面，画出甲地的镜像点（垂直河边的等距离点），然后连接乙地和甲地的镜像点，会跟河边相交一点，这个点就是马饮水的地方，马走的路程最短（两点之间直线距离最短）.
任务：
（1）请你帮海伦在图1的位置完成作图，并标出马饮水的地点（画出草图即可）；
（2）如图2，ΔABC的三个顶点的坐标分别为，，.请你在轴上找一点，使得最小，并直接写出点的坐标（保留作图痕迹）；
应用：
（3）如图3，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿处的点处，点与的水平距离等于底面直径，求蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离.
22．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．
（1）求AE的长；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，是等腰三角形；
②当t=______时，．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查无理数的定义．熟练掌握无理数的概念是解题的关键．根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：A．为有理数，故本选项符合题意；
B．为无限循环小数，为有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，为有理数，故本选项不符合题意；
D．是有限小数，为有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．D
【分析】根据一次函数的定义即可求解．一次函数中、为常数，，自变量次数为．
【详解】解：A. ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一次函数，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
3．B
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意；
B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意；
C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意；
D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键.
4．D
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据图象，得到点在第四象限，根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，且点在第四象限，
∴，
∴点P的坐标为；
故选D．
5．C
【分析】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 根据已知条件，P点和点关于y轴对称，可知，，即可得到m和．
【详解】解：点P和点关于y轴对称，
根据题意，有，；
故选：C
6．D
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
7．C
【分析】根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，原式错误；
C.，正确；
D.，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据点和点的位置得出的位置为，即可求解．
【详解】解：，在同一条竖直的直线上，
，的横坐标相同，即的横坐标为，
，在同一条水平的直线上，
，的纵坐标相同，即的纵坐标为，
的位置为，
故选：A
9．D
【分析】本题考查无理数的识别，由小正方形的边长可求出小正方形的面积，因为剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，进而求出大正方形的边长．
【详解】解：∵两个正方形的边长都是1，
∴两个小正方形的面积都为1，
∴剪拼成一个大正方形后面积等于两个小正方形的面积和即为2，
∴此大正方形的边长，
∴a是无理数，
故选：D．
10．D
【分析】如图，画出圆柱的展开图，连接AC，由勾股定理即可求出.
【详解】如图所示，在中，AB=10cm，BC=10cm，
则cm ，
∴装饰带的长度最短为cm ，
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键.
11．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的立方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
12． 第四象限 ， 第二象限 ， 第三象限 ， 第一象限 ， x轴 ， y轴.
【分析】根据第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）可对前两个点进行判断，根据纵坐标为0的点在x轴上，横坐标为0的点在y轴上，即可解答.
【详解】点在第四象限；点在第二象限；点在第三象限；点在第一象限 ；点在x轴上；点在y轴上.
故答案为(1). 第四象限 ， (2). 第二象限 ， (3). 第三象限 ， (4). 第一象限 ， (5). x轴 ， (6). y轴.
【点睛】此题考查点的坐标，解题的关键是掌握坐标轴上以及象限内点的坐标特征.
13．
【分析】直接把代入函数中求出y的值即可．
【详解】解：在中，当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个函数的函数值，正确把自变量的值代入函数关系式中进行求解是解题的关键．
14．-3
【分析】根据一次函数的定义得到m2-8=1且m-3≠0，据此求得m的值．
【详解】解：依题意得：m2-8=1且m-3≠0，
解得m=-3．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．会利用x的指数构造方程，会利用k限定字母的值是解题关键
15．8
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．根据题意可知，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由题可知，，
在中，，
即，
解得∶，
答：风筝距离地面的高度为8米．
故答案为：8
16．
【分析】本题考查了点坐标的变换规律，正确归纳类推出一般规律是解题关键．关于轴对称的点的坐标变换规律“横坐标互为相反数，纵坐标相同”，关于轴对称的点的坐标变换规律“横坐标相同，纵坐标互为相反数”，据此归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由题意可知，经过第1次变换后点的对应点的坐标为，
经过第2次变换后点的对应点的坐标为，
经过第3次变换后点的对应点的坐标为，
经过第4次变换后点的对应点的坐标为，
归纳类推得：这个变换是每4次为一个循环，
，
经过第2024次变换后点的对应点的坐标与经过第4次变换后点的对应点的坐标相同，
即为，
故答案为：．
17．12
【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．
【详解】
解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x，
∵，
∴AB=x+3，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2，
整理得，x=2，
∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)3
(5)
(6)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先进行二次根式化简，再进行加减运算即可；
（2）先计算二次根式乘法并化简，再进行分母有理化运算即可；
（3）先进行二次分式化简，任何非零的数的零次幂等于1，计算负整数次幂，最后进行加减运算即可；
（4）根据乘法分配律将原式化为，然后先乘后减即可；
（5）分别先运算二次根式的乘法和除法，化简二次根式，再进行加减运算即可；
（6）先根据平方差公式和完全平凡公式计算括号内，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
19．(1)画图见解析，
(2)4
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，
（1）利用轴对称图形的性质得出对应点，依次连接，再根据图形得出坐标；
（2）利用矩形面积减去周围三角形的面积得出答案即可．
【详解】（1）解：如图，；
（2）．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查函数图像上点的问题及作函数图象，
（1）将，，，代入求解，描点连线即可求解；
（2）本题考查函数的性质及作函数图象，根据（1）中的图象直接找到函数规律，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
故表中依次填入：6，4，2，
描点，连线如图所示，
（2）解：由（1）得，
①的图象是以原点为公共端点的两条射线；
②的图象经过坐标系的第一、二象限；
③的图象关于轴对称；
④的图象的最低点是；
21．（1）详见解析；（2）图详见解析，点的坐标为；（3）蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为.
【分析】（1）根据在河边上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与河边线的交点就是所要找的点．
（2）找出C的对称点C′，连接BC′，与x轴交点即为Q；
（3）将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：（1）如答图1即为所作图形.
（2）如答图2，点即为所求.
点的坐标为
（3）如答图3是杯子的侧面的部分展开图，
设点为杯子侧面展开图上边沿的中点，作点关于上边沿的对称点，
连接，则即为最短距离，
设与展开图的上边缘交于点，过点作，且与的延长线交于点，
则，
.
在中，
.
∴蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为.
【点睛】此题主要考查了最短路线问题，涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．对于最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
22．（1）5；（2）2或或；（3）
【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∴，
在中，，
（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，过点E作，
在中，，
∴，
即，
解得：， ，
∴
综上所述，符合要求的t值为2或或；
②当时，
在中，，
即，
在中，，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴当时，．
【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
D
C
D
C
A
D
D
…
0
1
2
3
…
…
6
4
2
0
2
4
6
…