山西省太原市实验中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

这是一份山西省太原市实验中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
2．关于的方程有一个根为则另一个根为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．5
4．如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．平分
5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（ ）

A．AB=ACB．AB=BCC．BE平分∠ABCD．EF=CF
7．中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有人，那么小明发短信的人数为（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，下列条件中，可使四边形EFGH是矩形的是（ ）
A．AB=CDB．AC⊥BDC．AC=BDD．AD∥BC
10．数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
A．甲、乙都是B．甲、乙都不是C．只有甲才是D．只有乙才是
二、填空题
11．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
12．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.

13．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为 ．
14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步．
15．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．选择恰当的方法解下列方程
(1)
(2)
18．如图，在菱形中 ，是对角线，点E 是延长线上的一点，在线段的延长线上截取，连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由．
19．物美商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件．设二、三这两个月销售量的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月销售量的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
20．【推理】如图①，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，，延长交于点．求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点．若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，，交于点，取的中点，连接，则的最小值是______．
21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商平台助力乡村振兴，帮助农户销售一种黑衣花生．从农户手中的进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克．调查发现，当售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克．
(1)当售价每千克降低元时，每天销售这种花生______千克，每天获得利润______元；
(2)若要使每天的利润为元，同时又要尽快减少库存，则每千克这种花生应降价多少元？
23．如图1，在矩形ABCD中，，，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为，连接、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求AF的长；
(3)如图（2），动点P，О分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点自停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒2cm，点的速度为每秒1.2cm，运动时间为t秒，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．

乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．

参考答案：
1．A
【分析】根据根的判别式进行解答即可．
【详解】解：由题意，可知，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
2．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】解：设原方程的另一根为x，则：
，
∴x=4+1=5，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
3．A
【分析】先证四边形ABCD是菱形，再运用勾股定理求得BO，最后由菱形的面积公式可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4．
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定、菱形的面积，证得四边形ABCD为菱形以及菱形的面积为菱形对角线积的一半是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据全等三角形的判定和性质分析推理A，B，C，根据面积法和角平分线的判定分析推理D．
【详解】解：在矩形中，，但，
∴即便也无法证明Rt与Rt全等，
∴无法证明，故选项A不符合题意；
无法证明，
∴无法证明，故选项B不符合题意；
连接，

仅有，，无法证明与全等，
∴无法证明，故选项C不符合题意；
过点D作，，连接，

在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，即平分，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键．
5．D
【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
【详解】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF=FC，可证EF=BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
【详解】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=BC，EF=AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，∴∠ABE=∠EBC
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB
∴∠ABE =∠DEB
∴BD=DE
∴四边形DBFE是菱形，
故C正确，不符合题意，
当EF=FC，
∵BF=FC
∴EF=BF，
∴四边形DBFE是菱形，
故D正确，不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意列方程即可求解．
【详解】解：设小明发短信给个人，
由题意得：，
，
，
，
，
，（不合题意舍去），
小明发短信给个人，
故选：D．
8．D
【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：x2+32=（10-x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．B
【分析】连接AC，BD，根据中位线的性质及矩形的判定方法即可求解．
【详解】解：连接AC，BD，
∵顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
∴EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
要使四边形EFGH为矩形，
则EF⊥EH，
则AC⊥BD，
故选：B．
【点睛】此题主要考查中点四边形的判定，解题的关键是熟知中位线定理与矩形的判定定理．
10．A
【分析】甲中，如图，连接，由矩形，可得，则、、、、分别是、、、的中位线，，，即，四边形是菱形；乙中，由折叠可知，，，由矩形，可得，，则，，，四边形是菱形．
【详解】解：甲中，如图，连接，

∵矩形，
∴，
∴、、、、分别是、、、的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知，，，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．k＜1．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=，
解得：，
故答案为.
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键.
12．10
【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可.
【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：
(2x)2+(25-x)2=252，
4x2-50x+x2=0，
5x(x-10)=0，
x1=0 (舍去), x2=10 (秒).
∴10秒后P、Q两点相距25cm.
故答案为10.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
13．
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，
∴设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO＝∠ECO，
∵∠ECO＝∠ECB，
∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，
∴2BE＝CE，
∴CE＝2x，
∴2x＝3﹣x，
解得：x＝1，
∴CE＝2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2＝EC2，
BC＝
又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，
则菱形的面积＝AE•BC＝．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
14．12
【分析】设长为x步，宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得.
【详解】设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
15．2
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先将方程化为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程，即可得解；
（2）先提取公因式，再解一元二次方程，即可得解．
【详解】（1）解：，
，
解得；
（2）解：，
提取公因式，得，
解得．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，结合方程选择合适的方法是解题的关键．
18．四边形是菱形，见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质；
根据菱形的性质求出，，则四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形．
【详解】四边形是菱形；
理由：连接与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
19．(1)；
(2)元．
【分析】（）设二、三这两个月销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可求解；
（）设商品降价元时，商场获利元，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设二、三这两个月销售量的月平均增长率为，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：二、三这两个月销售量的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元时，商场获利元，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
答：当商品降价元时，商场获利元．
20．【推理】见解析；【运用】；【拓展】
【推理】利用正方形与折叠的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定定理解答即可．
【运用】连接，通过证明，得到；利用等腰三角形的判定与性质和平行线的性质得到，则为的中点，再利用【推理】中的结论即可求得结论．
【拓展】利用折叠的性质和点的轨迹得到点的位置，利用当，，三点在一条直线上时，取得最小值，再利用勾股定理求得，则的最小值为．
【详解】证明：四边形是正方形，
，
．
由题意得：垂直平分，
，
，
，
，
在和中，
，
；
解：，理由：
连接，如图，
由题意得：，
，
点是的中点，
，
．
在和中，
，
，
．
由题意：，
，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：．
解：AN的最小值是，理由：
由题意得：垂直平分，
，
即点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，
是的中点，
，
，
∴点的轨迹为在的上方，以为直径的半圆（不含，），
设的中点为，连接，如图，
则，．
，
当，，三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，点的轨迹，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题的关键．
21．所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m，
由题意得 ，
化简，得，解得：，
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
22．(1)，
(2)每千克这种花生应降价元
【分析】（1）根据售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克，可求出售价每千克降低元时的销售量，由此可求出利润；
（2）设每千克这种花生应降价元，根据题意例一元二次方程方程，解方程，根据实际情况确定方程的根，即可求解．
【详解】（1）解：进价为每千克元，按每千克元的价格出售，每天可售出千克，售价每千克降低元时，则每天销量可增加千克，
∴当售价每千克降低元时，售价为每千克元，销量为（千克），
∴获得的利润为（元），
故答案为：，．
（2）解：设每千克这种花生应降价元，
根据题意得：，整理得，，
解方程，得，，，
∵要尽快减少库存，
，
∴每千克这种花生应降价元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题，理解销售中的数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)AF的长是5cm
(3)以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒
【分析】（1）根据全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出AF=CF，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（3）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形．
∴AF＝FC，
设AF＝xcm，
则CF＝xcm，BF＝（8﹣x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，即AF＝5cm；
（3）如图，由题意知，当点P在BF上，点Q在DE上时，才能构成平行四边形，
∴以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴
∵点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒1.2cm，运动时间为t秒，
∴，，
∴，
解得，
∴以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
【点睛】本题考查的是四边形综合题型，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
D
A
D
D
B
A