广东省广州市广州外国语学校2024—2025学年上学期10月月考九年级数学试卷

这是一份广东省广州市广州外国语学校2024—2025学年上学期10月月考九年级数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．方程5x2+4x－1=0的二次项系数和一次项系数分别为( )
A．5和4B．5和－4C．5和－1D．5和1
2．已知点和点关于原点对称，则 （ ）
A．1B．C．3D．
3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在等边 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（ ）
A．17B．18C．19D．以上都不对
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（ ）
A．19B．18C．17D．16
7．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）．
A．B．
C．D．
9．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．2024D．
二、填空题
11．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （填序号）．
①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形．
12．已知x=1是方程的根，则
13．将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为 ．
14．如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ．
15．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米．
16．如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹）
(1)将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形；
(2)求出的面积．
19．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，设运动时间为．

(1)几秒后， 的面积等于
(2)几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？
20．已知抛物线
(1)该抛物线的对称轴为 ；
(2)若， 设点， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
21．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克．
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？
(2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？
22．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m．
(1)求线段的长；
(2)请用含m的代数式表示的面积；
(3)若，求点P的坐标．
23．如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
24．在中，，， 点是的中点， 连接， 将绕着点顺时针旋转，旋转角为，点、的对应点分别为点、， 连接， 已知．
(1)当为锐角， 且 时，求的值；
(2)当时，画出图形，并求与重叠部分的面积；
(3)将绕着点旋转一周，取中点为，求动点到距离的最大值．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点的坐标为， 点的坐标为．
(1)求抛物线过点时，求实数的值；
(2)已知点的坐标为0,2，求的最小值；
(3)若抛物线与线段有且只有一个交点，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的一般形式的各项系数的概念，即可得到答案．
【详解】5x2+4x－1=0的二次项系数和一次项系数分别为：5和4．
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式的各项系数的概念，掌握一元二次方程的一般形式的各项系数的概念是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及代数式求值，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出m与n的值，然后代入式子计算即可．
【详解】解：点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般式，然后通过移项再将常数项移至方程的右边；②将二次项系数化为，当二次项系数不是时，则在方程两边同时除以二次项系数；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；④配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，即可求，根据的周长，可求的周长．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到
，，
∴是等边三角形
∵是等边三角形
∴的周长
∴的周长
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根．
先求出一元二次方程根的判别式的值，然后判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可．
本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了18个人，
故选B．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键．
由题意可知，二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案．
【详解】解∶由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，
∵点A离对称轴最远，点B离对称轴最近，
．
故选∶C．
8．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．
故选：B
9．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系．
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴．
故选B．
11．②④⑤
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：②④⑤．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x=1代入方程得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：把x=1代入得，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键．过点作轴于点，由等边三角形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，推出，进而求出，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
是等边三角形，
，，
由旋转知，，，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
15．11
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度．
根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【详解】解：∵，
∴当，时，，
即，
解得，（舍去），
∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米．
16．
【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论．
【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足．
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，．
，
，
，
的最小值为12，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
或
∴，；
（2）
∴，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用面积的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）的面积为：．
19．(1)2秒或6秒
(2)4秒后，取得最小值，最小值为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）设运动时间为x秒，则，，根据三角形面积公式列出方程即可；
（2）设运动时间为t秒，则，，根据勾股定理列出的式子，根据配方法即可求得最小值．
【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，，根据题意得：
，
解得：，
答：2秒或6秒后，的面积等于；
（2）解：设运动时间为t秒，则，，
∵，
∴在中， ，
，
∴当时，取得最小值为：．
即4秒后，取得最小值，最小值为．
20．(1)直线
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴；
（2）根据关于对称轴的对称点为，根据二次函数的性质确定m的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴对称轴为直线．
故答案为：直线．
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为．
∵，，
∴当时，抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小，
∴或．
21．(1)18元
(2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元
【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；
（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值．
【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：，
解得：，，
∵要尽可能让利于顾客，只能取，
∴售价应为（元），
答：每千克特产商品的售价应为18元；
（2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则
∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元．
【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】（1）令，求出A−2,0，B4,0，即可得解；
（2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解；
（3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
∴A−2,0，B4,0，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
在中，令，则，即，
∴，
∵B4,0，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，，
∴；
（3）解：由（2）可得：，
由题意得：，
解得：，，
∵点在第二象限，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23．(1)，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转得：，推出，利用勾股定理的逆定理可得，推出，最后根据角的和差即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质可得：，，推出，，由旋转可得：，，，，推出，得到，根据勾股定理求出，证明四边形是正方形，，得到，最后根据与重叠部分的面积为：，即可求解；
（3）取的中点，连接，，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据在中，，即可求解．
【详解】（1）解：由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
（2），点是的中点，，
，，
，，
由旋转可得：，，，，
，
，
由勾股定理得：，即，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
在和中，
，
，
，
与重叠部分的面积为：，
（3）如图，取的中点，连接，，过点作于点，
，为的中点，
，
在中，，
在中，，
点到距离的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用相关知识．
25．(1)的值为或
(2)的最小值为
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，轴对称——最短路径问题，一次函数的图像与性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
（1）将代入抛物线中求解即可；
（2）将抛物线化为顶点式可得，推出抛物线的顶点在直线上运动，作点关于直线的对称点，过点作轴于点，得到，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理求出即可；
（3）先求出直线的解析式为，联立，结合判别式可得：，由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上，
当抛物线过点时，，可得：，，结合当时，抛物线过，两点，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得：或，
的值为或；
（2），
，
抛物线的顶点在直线上运动，
如图，作点关于直线的对称点，过点作轴于点，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，
，
，，
，
的最小值为；
（3）设直线的解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
由（2）知，抛物线的顶点在直线上运动，在抛物线上从左到右的运动过程中，会经历抛物线与线段从相离到相切、相交、再相离的过程，
联立，
得到：，
，
解得：，
由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上，
当抛物线过点时，，
解得：，，
当时，抛物线过，两点，
或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
B
B
C
B
C
B