热点专题 2.2 函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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热点专题2-2 函数单调性与奇偶性15类题型全归纳
模块一
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热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc169596197" 【题型1】函数的单调性 PAGEREF _Tc169596197 \h 2
\l "_Tc169596198" 【题型2】 复合函数单调性的判断 PAGEREF _Tc169596198 \h 4
\l "_Tc169596199" 【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围 PAGEREF _Tc169596199 \h 7
\l "_Tc169596200" 【题型4】利用单调性求最值或值域 PAGEREF _Tc169596200 \h 11
\l "_Tc169596201" 【题型5】由单调性求参数的范围 PAGEREF _Tc169596201 \h 12
\l "_Tc169596202" 【题型6】结合单调性解函数不等式 PAGEREF _Tc169596202 \h 14
\l "_Tc169596203" 【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值 PAGEREF _Tc169596203 \h 17
\l "_Tc169596204" 【题型8】函数的奇偶性的判断与证明 PAGEREF _Tc169596204 \h 19
\l "_Tc169596205" 【题型9】函数图像的识别 PAGEREF _Tc169596205 \h 24
\l "_Tc169596206" 【题型10】利用单调性，奇偶性比大小 PAGEREF _Tc169596206 \h 29
\l "_Tc169596207" 【题型11】已知函数的奇偶性求参数 PAGEREF _Tc169596207 \h 31
\l "_Tc169596208" 【题型12】解奇函数不等式 PAGEREF _Tc169596208 \h 36
\l "_Tc169596209" 【题型13】解偶函数不等式 PAGEREF _Tc169596209 \h 39
\l "_Tc169596210" 【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题 PAGEREF _Tc169596210 \h 42
\l "_Tc169596211" 【题型15】存在任意双变量问题 PAGEREF _Tc169596211 \h 45
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）几条常用的判断单调性的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.
【巩固练习1】已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
【巩固练习2】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，
由增函数的定义可知，当时，有，
充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
【题型2】 复合函数单调性的判断
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
【答案】C
【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.
【详解】设，则有且，
，则，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；
又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.
已知，若，则（ ）
A．在区间内是减函数B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数D．在区间内是增函数
【答案】A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
【巩固练习1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
【巩固练习2】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
【巩固练习3】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围
函数，在上为增函数，则：
①在上单调递增；②在上单调递增；③．
函数，在上为减函数，则：
在上单调递减；②在上单调递减；③．
（2024·新高考1卷真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
已知的值域为，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．1
【答案】D
【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为的值域为，
当时，显然值域不为，故舍去；
当时函数单调递减，即，
又，函数的值域不为，故舍去；
所以，
此时当时，函数单调递增，
又函数在上单调递减，在上单调递增，且时，
当时，只需满足，解得，
当时，只需满足，解得，
综上可得，即的最小值为.
【巩固练习1】已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于任意的都有成立
则函数在上是增函数
∴，解得
【巩固练习2】已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.因此，实数的取值范围是.
【巩固练习3】已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
【详解】因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
【巩固练习4】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【巩固练习5】若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
【题型4】利用单调性求最值或值域
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减，则的最大值是，最小值是．
（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋1x在[−2,−13]上的最大值是（ ）
A． 32 B．－83C．－2D．2
【解题思路】由题可知f(x)在[−2,−13]上是减函数，从而可求出其最大值
【解答过程】解：因为函数y=−x和y=1x在[−2,−13]上均为减函数，
所以f(x)在[−2,−13]上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－12＝32.
【巩固练习1】当时，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
【巩固练习2】已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15B．10C．0D．
【答案】A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
【题型5】由单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
【巩固练习1】（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．2,6B．−∞,2∪6,+∞
C．4,12D．−∞,4∪12,+∞
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数fx=−x2+ax+1的图象对称轴为x=a2，依题意，2所以a的取值范围为4,12.
【巩固练习2】（2023·天津河北·一模）设a∈R，则“a>−2”是“函数fx=2x2+4ax+1在2,+∞上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【解答过程】函数fx=2x2+4ax+1的对称轴为x=−a，
由函数fx=2x2+4ax+1在2,+∞上单调递增可得−a≤2，即a≥−2，
所以“a>−2”是“函数fx=2x2+4ax+1在2,+∞上单调递增”的充分不必要条件.
【巩固练习3】已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
【题型6】结合单调性解函数不等式
求解函数不等式时，由条件去掉“”，从而转化为自变量的大小关系，记得考虑函数的定义域．
已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知有，即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，
所以，解得.
已知函数f(x)=−3x+3,x<0−x2+3,x≥0，则不等式fa>f3a−4的解集为（ ）
A．−12,+∞B．2,+∞C．−∞,2D．−∞,−12
【解题思路】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【解答过程】根据题目所给的函数解析式，可知函数fx在−∞,+∞上是减函数，
所以a<3a−4，解得a>2．
【巩固练习1】已知函数是定义在上的单调减函数：若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，解得
【巩固练习2】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
【巩固练习3】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合二次函数和分段函数性质，研究给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因为开口向下的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减，且，因此函数在R上单调递减，则，即，
解得或，
所以实数的取值范围是
【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数在上单调递减，结合可将不等式化为，可得不等式解集为.
【详解】根据定义域为且可知，
又，所以对，恒成立；
即可知函数在上单调递减；
又，可得，
不等式可化为，解得，
可得不等式的解集为.
【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式．
解题步骤：第一步：首先设出所求区间的自变量x；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式．
已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则的值是 .
【答案】
【解析】因为①，所以
由函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则
所以②
则①-②可得：，所以
则．
（2024·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
【答案】
【解析】当时，，，
则．
（2024·海南·三模）已知函数fx为奇函数，gx为偶函数，且fx−gx=ex，则f1g1=（ ）
A．e2+1eB．e2−1eC．1−e21+e2D．1+e21−e2
【答案】C
【解题思路】根据解析式，分别代入x=1和x=−1，再结合函数的奇偶性，即可求解f1和g1，再求其比值.
【解答过程】取x=1得f1−g1=e①，取x=−1得f−1−g−1=1e，
即−f1−g1=1e②，①－②得2f1=e−1e，①＋②得−2g1=e+1e，
所以f1g1=1−e21+e2．
【巩固练习1】若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则的解析式为 .
【答案】
【解析】由题意得：，即①，②，②-①得：，解得：.
【巩固练习2】（2024·山西吕梁·一模）已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x−1，则当x<0时，f(x)=（ ）
A．2−x−x−1B．2−x+x+1
C．−2−x−x−1D．−2−x+x+1
【答案】D
【解题思路】根据奇函数的性质进行求解即可.
【解答过程】当x<0时，则−x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=−f(−x)=−2−x+x+1.
【巩固练习3】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【答案】
【解析】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
【题型8】函数的奇偶性的判断与证明
一、函数奇偶性的定义及图象特点
二、判断奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
⑤若为奇函数，则为偶函数
设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误
已知函数，若，则 ．
【答案】或
【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.
【详解】由题可知，，所以是偶函数．
由于函数在上单调递增，而 且单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
进而可得在上单调递增，又，
所以或，解得或．
函数的奇偶性为 .
【答案】奇函数
【解析】要使函数，必须满足，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
由可得，
所以函数可化为
因为，
所以函数是奇函数.
【巩固练习1】（多选题）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】BC
【解析】因为，所以为偶函数，
因为，
即，所以为奇函数，
所以为非奇非偶函数，A错误；
，所以为奇函数，B正确；
，所以是奇函数，C正确；
令，，为偶函数，D错误.
【巩固练习2】（2024·重庆·三模）设函数fx=2−x2+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．fx−2+1B．fx−2+2
C．fx+2+2D．fx+2+1
【答案】A
【解题思路】首先推导出f−4−x+fx=−2，即函数fx的对称中心为−2,−1，再根据函数的平移只需将函数fx向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=fx−2+1，则该函数关于0,0对称，即可判断.
【解答过程】因为fx=2−x2+x=−x+2+42+x=−1+4x+2定义域为x|x≠−2，
则f−4−x+fx=−1+4−x−2−1+4x+2=−2 x≠−2，所以函数fx的对称中心为−2,−1，
所以将函数fx向右平移2个单位，向上平移1个单位，得到函数y=fx−2+1，
该函数的对称中心为0,0，故函数y=fx−2+1为奇函数.
【巩固练习3】结合图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【解析】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
【题型9】函数图像的识别
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
三:极限思想
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】记，函数定义域为，则，
所以函数为奇函数，排除BC，又当时，，排除D
函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B
【巩固练习1】函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为定义域，
且，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D；
当时，，排除B.
【巩固练习2】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除CD，
，排除B
【巩固练习3】函数的图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当时，可判断C，D错误，当时可判断A，B.
【详解】当时，，其在单调递增，C，D错误；
当时，，在单调递减，B错误，A正确.
【巩固练习4】函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误
【题型10】利用单调性，奇偶性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利用其单调性比较大小
（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，则，所以，
因为在上单调递增，所以，
即
【巩固练习1】（2024·宁夏银川·一模）若，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知，由，
所以为偶函数，图象关于轴对称，
当时，由复合函数的单调性法则知随的增大而增大，
即 ， 单调递增，
因为，，
且，，
所以，所以，
即，也就是.
【巩固练习2】已知函数，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，所以函数为偶函数，
当时，设，则，故在上单调递增且恒为正数，则函数在上单调递减，又函数为偶函数，故在上单调递增，又，即，于是，即.
【巩固练习3】（2024·四川·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以
【题型11】已知函数的奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1这类比较好计算的特殊值
（3）导数法
奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
（4）函数性质法
①为偶函数，
②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（5）定义域对称法
若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
（2023年新课标全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解法1】特殊值法：因为 为偶函数，则 ，解得，
验证：当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
【解法2】函数性质法：因为是奇函数，而为偶函数，故为奇函数．
证明过程：，故，则，
这一方法要求学生能够发现函数的奇偶性，解题的起点相对高，对一些数学基础弱的学生有一点难度。
【解法3】定义法：
则有
即(
，则
已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，所以.故选：D.
已知函数的图象关于轴对称，则 ．
【答案】1
【分析】由函数图象关于轴对称可得，再结合对数的运算性质代入表达式求出即可.
【详解】因为，
且，即，
有，所以．
函数为奇函数，则实数 .
【答案】
【解析】由为奇函数，根据定义有，结合是单调函数即可求.
【详解】函数为奇函数知：，而，
∴，即，
又是单调函数，
∴，即有，解得.
（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
【巩固练习1】（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，故
【巩固练习2】已知函数是奇函数，则 .
【答案】
【解析】由，得，
则，所以函数的定义域为，
所以，解得
【巩固练习3】已知函数是奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】根据题意可知是偶函数，结合偶函数的定义分析求解.
【详解】由题意可知：函数的定义域为函数，
因为函数是奇函数，且是奇函数，
可知是偶函数，
则，
因为不恒成立，则，解得.
【巩固练习4】若函数是偶函数，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据偶函数定义对函数解析式进行化简即可得.
【详解】易知的定义域为，
且，
因为函数是偶函数，
所以，
所以恒成立，故，即.
【巩固练习5】（2024·高三·湖北武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为 .
【答案】
【解析】因为为定义域上的奇函数，所以，
即，整理化简有：恒成立，
所以，得，又因为，所以，
且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意.
【巩固练习6】若函数是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出，求出函数的定义域，再由奇函数得，即可求出，即可得解.
【详解】由，可得，即，
且，即，
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，所以，
故，定义域为，
因为函数是奇函数，
所以，所以，
经检验，符合题意，所以，，
所以.
【题型12】解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
【答案】(1,2)
【详解】 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)因为f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1,2)．
设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
【答案】 C
【解析】 利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,fx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,fx>0，))由图可知x>2或x<－2，故选C.
已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，
当时，，此时在上单调递增，且过点，
则当时，在上单调递增，且过点，
作出函数的大致图像如图：
则由可得或，
解得或，即的解集为
【巩固练习1】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为奇函数在上为增函数,
所以在上也是增函数,且,
从而在定义域上的大致图象为：
所以的解为:,或
【巩固练习2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 .
【答案】
【思路点拨】利用奇偶性求出函数的解析式，分类讨论即可求解.
【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在R上的奇函数，所以，
所以当时，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，综上，不等式的解集为.
【巩固练习3】已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论．
【详解】解：∵是定义在上的奇函数，
，
当，，
此时，
∵是奇函数，
，
即，
当，即时，不等式不成立；
当，即时，，解得：
当，即时，，解得，
综合得：不等式的解集为
【巩固练习4】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，
又因为，所以函数为奇函数，，
所以不等式可化为，
于是，即，解得或.
【题型13】解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制
已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为
【答案】
【思路点拨】由函数为偶函数可将原不等化为，再根据函数在上单调递增，可得，从而可求得结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以可化为，
因为在上单调递增，
所以，所以，
即，解得，
所以原不等式的解集为
已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ．
【答案】
【思路点拨】根据是定义在上的偶函数，将不等式转化为，再利用其单调性求解.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减，
所以在上递增，
不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
【巩固练习1】若函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，且f3=0，则使得fx<0的x的取值范围是（ ）
A．−∞,−3B．3,+∞
C．−3,3D．−∞,−3∪3,+∞
【答案】C
【解题思路】分析函数fx在0,+∞上的单调性，将所求不等式变形为fx【解答过程】因为函数fx是定义在R上的偶函数，在−∞,0上是减函数，
则函数fx在0,+∞上为增函数，
因为f3=0，由fx<0可得fx因此，满足fx<0的x的取值范围是−3,3.
【巩固练习2】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为 ．
【答案】
【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，将不等式转化为，结合定义域列不等式组，即可得结论．
【详解】解：∵是定义在上的偶函数，
∴，解得，
∴函数的定义域为，
∵在上单调递增，
∴在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，
由，可得，
解得，故不等式的解集为．
【巩固练习3】已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】函数的定义域为，
且，即是偶函数，
当时，，
构造，，
令，则在上单调递增，又也是增函数，
则在上单调递增，
又是定义域内的增函数，故在上单调递增，
不等式等价于，
即，平方得：，解得且，
则不等式的解集为.
【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
若，使的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.
【详解】不等式，等价于，
依题意，，恒成立，
而函数在上单调递增，当时，，因此，
所以的取值范围为.
若“，”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案.
【详解】由题意得该命题的否定为真命题，
即“，”为真命题，
即，
令，因为，则，
则存在，使得成立，
令，令，则（负舍），
则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，则.
【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解.
【详解】由解析式易知：单调递增，
当时，恒成立，则，得．
【巩固练习2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.
【详解】由题意，在中，对称轴，
∴当时，，解得：，
∴“”是“”的充分而不必要条件.
【巩固练习3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值.
又因为函数在区间上单调递增，
所以当时，.
综上可得函数的最小值为.
因为，使得成立，
所以，解得：或.
【巩固练习4】（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】
举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，当时，
，，此时，
所以，，故A正确；
对于B，当时，，，此时，
所以，，故B正确；
对于C，当时，
，，此时，
所以，，故C正确；
对于D，当时，
，当且仅当，即时取等号，
，
由，得，
而，
所以当，即时，，
所以，当且仅当时取等号，
而，所以，，故D错误.
【题型15】存在任意双变量问题
（1），成立
（2），成立
（3），恒成立
（4），恒成立
（5）成立
（6）成立
（7）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：
= 1 \* GB3 ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；
= 2 \* GB3 ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.
已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.
【详解】由得，，当时，，
∴在单调递减，∴是函数的最小值，
当时，为增函数，∴是函数的最小值，
又∵，都，使得，
可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得
已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意知，建立不等式求解即可.
【详解】因为，
当时,，
因为存在,存在,
使得成立,
所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值.
当时,函数在上单调递减,
则，解得;
当时,函数在上单调递增,
则，解得，
综上,实数a的取值范围是.
已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得的值域是的值域子集，分别求得函数的值域，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由条件可得，的值域是的值域的子集，其中，，
则，，
令，且，则，则，
当，函数单调递减，当，函数单调递增，
当时，，当时，，
所以，
由的值域是的值域子集，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
【巩固练习1】已知函数，，若对，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数的取值范围．
【详解】解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称，
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为，
又∵，，
∴为单调增函数，值域为，
即，
∵，，使得，
∴，解得：．
【巩固练习2】已知函数，.若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据基本不等式以及函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案.
【详解】设在上的最小值为，在上的最小值为.
因为，当且仅当，且，即时等号成立，
所以，.
在上单调递增，所以.
由，，使得成立，
可得，即，所以.
【巩固练习3】已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】对任意，都存在，使得，只需即可.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
在R上单调递减，所以当时，.
因为对任意，都存在，使得，
所以只需即可，
即，解得，即m的取值范围是.
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年新高考I卷，第6题,5分
近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、是高考的一个重点，需要重点关注，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想
借助函数图象，会用符
号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义
2024年上海卷，第4题,5分
2023年新高考I卷，第4题,5分
2023年新高考Ⅱ卷，第4题,5分
2023年新高考I卷，第8题,5分
2022年新高考II卷，第6题,5分
2021年新高考I卷，第6题,5分
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称