热点专题 2.2 函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

这是一份热点专题 2.2 函数单调性与奇偶性【15类题型全归纳】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用），文件包含热点专题22函数单调性与奇偶性15类题型全归纳原卷版2025年高考数学热点题型专题突破新高考专用docx、热点专题22函数单调性与奇偶性15类题型全归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点专题2-2 函数单调性与奇偶性15类题型全归纳
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc169596197" 【题型1】函数的单调性 PAGEREF _Tc169596197 \h 2
\l "_Tc169596198" 【题型2】 复合函数单调性的判断 PAGEREF _Tc169596198 \h 4
\l "_Tc169596199" 【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围 PAGEREF _Tc169596199 \h 7
\l "_Tc169596200" 【题型4】利用单调性求最值或值域 PAGEREF _Tc169596200 \h 11
\l "_Tc169596201" 【题型5】由单调性求参数的范围 PAGEREF _Tc169596201 \h 12
\l "_Tc169596202" 【题型6】结合单调性解函数不等式 PAGEREF _Tc169596202 \h 14
\l "_Tc169596203" 【题型7】已知函数的奇偶性求解析式、求值 PAGEREF _Tc169596203 \h 17
\l "_Tc169596204" 【题型8】函数的奇偶性的判断与证明 PAGEREF _Tc169596204 \h 19
\l "_Tc169596205" 【题型9】函数图像的识别 PAGEREF _Tc169596205 \h 24
\l "_Tc169596206" 【题型10】利用单调性，奇偶性比大小 PAGEREF _Tc169596206 \h 29
\l "_Tc169596207" 【题型11】已知函数的奇偶性求参数 PAGEREF _Tc169596207 \h 31
\l "_Tc169596208" 【题型12】解奇函数不等式 PAGEREF _Tc169596208 \h 36
\l "_Tc169596209" 【题型13】解偶函数不等式 PAGEREF _Tc169596209 \h 39
\l "_Tc169596210" 【题型14】函数不等式恒成立问题与能成立问题 PAGEREF _Tc169596210 \h 42
\l "_Tc169596211" 【题型15】存在任意双变量问题 PAGEREF _Tc169596211 \h 45
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）几条常用的判断单调性的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.
【巩固练习1】已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
【巩固练习2】（2024·陕西榆林·一模）已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，
由增函数的定义可知，当时，有，
充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
【题型2】 复合函数单调性的判断
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
【答案】C
【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.
【详解】设，则有且，
，则，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；
又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.
已知，若，则（ ）
A．在区间内是减函数B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数D．在区间内是增函数
【答案】A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
【巩固练习1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
【巩固练习2】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
【巩固练习3】函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为
【题型3】由分段函数的单调性与最值求参数范围
函数，在上为增函数，则：
①在上单调递增；②在上单调递增；③．
函数，在上为减函数，则：
在上单调递减；②在上单调递减；③．
（2024·新高考1卷真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
（2024·陕西商洛·一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
已知的值域为，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．1
【答案】D
【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为的值域为，
当时，显然值域不为，故舍去；
当时函数单调递减，即，
又，函数的值域不为，故舍去；
所以，
此时当时，函数单调递增，
又函数在上单调递减，在上单调递增，且时，
当时，只需满足，解得，
当时，只需满足，解得，
综上可得，即的最小值为.
【巩固练习1】已知函数满足对于任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，对于任意的都有成立
则函数在上是增函数
∴，解得
【巩固练习2】已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.因此，实数的取值范围是.
【巩固练习3】已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
【详解】因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
【巩固练习4】已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
【巩固练习5】若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为，
因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，否则当时，，不符合题意，
于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
所以实数的取值范围为.
【题型4】利用单调性求最值或值域
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减，则的最大值是，最小值是．
（2024·江西上饶·一模）.函数f(x)＝－x＋1x在[−2,−13]上的最大值是（ ）
A． 32 B．－83C．－2D．2
【解题思路】由题可知f(x)在[−2,−13]上是减函数，从而可求出其最大值
【解答过程】解：因为函数y=−x和y=1x在[−2,−13]上均为减函数，
所以f(x)在[−2,−13]上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－12＝32.
【巩固练习1】当时，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
【巩固练习2】已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15B．10C．0D．
【答案】A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
【题型5】由单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，
又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得：，解得．
（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
【巩固练习1】（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．2,6B．−∞,2∪6,+∞
C．4,12D．−∞,4∪12,+∞
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数fx=−x2+ax+1的图象对称轴为x=a2，依题意，2