热点专题 2.4 指数与指数函数（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

这是一份热点专题 2.4 指数与指数函数（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用），文件包含热点专题24指数与指数函数原卷版docx、热点专题24指数与指数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点专题 2-4 指数与指数函数
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171375841" 【题型1】指数幂的运算
\l "_Tc171375842" 【题型2】 指数函数过定点问题
\l "_Tc171375843" 【题型3】求指数函数的解析式
\l "_Tc171375844" 【题型4】指数函数的图象及应用
\l "_Tc171375845" 【题型5】比较指数幂的大小
\l "_Tc171375846" 【题型6】解指数方程或不等式
\l "_Tc171375847" 【题型7】指数型复合函数单调性
\l "_Tc171375848" 【题型8】指数型函数的值域问题
\l "_Tc171375849" 【题型9】指数函数的实际应用
\l "_Tc171375850" 【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合
\l "_Tc171375851" 【题型11】指数函数的综合性问题
【题型1】指数幂的运算
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
指数与根式的概念
1、n次方根的定义
（1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
（2）偶次方根的被开方数要为非负数
2、根式
（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
（2）性质：（，且）
a；
3、分数指数幂的意义
（1）分数指数幂的意义
正分数指数幂：规定：
负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
5、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
6、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
（1）；
（2）已知，，求的值.
【解析】（1）原式
（2）因为，，
所以，，
所以.
【巩固练习1】化简或求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（且）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式=.
（2）
=21.
（3）
.
（4）.
【巩固练习2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将两边平方，得，
所以．
（2）将两边平方，得，
所以．
（3）∵，，，
∴，
∴．
【巩固练习3】计算(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=（ ）
A．−132B．−112C．−12D．12
【解题思路】利用指数运算及根式运算计算即得.
【解答过程】(−64)13+[(−3)4]14−(2−1)0+3338=(−43)13+(34)14−1+[(32)3]13=−4+3−1+32=−12.
故选：C.
【题型2】 指数函数过定点问题
指数函数图象都经过点，恒过定点．
已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
【巩固练习1】函数（且）的图象恒过定点，则等于 .
【答案】2
【解析】由，即，得，所以，所以
【巩固练习2】（2024·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 .
【答案】
【解析】函数且的图象过定点，
则，所以，
由，得，
则
令，则，
则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
所以的最小值是.
【题型3】求指数函数的解析式
已知是指数函数，若，则___________.
【答案】
【解析】设，
因为，即，解得，所以，即．
【巩固练习1】已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式
【答案】
【解析】在上增函数，，解得
又,，
由为偶函数知，；
【巩固练习2】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，则，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以当时．
【题型4】指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势.
（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，所以.
函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】C
【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.
【巩固练习1】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由函数的图像可知，
函数在定义域上单调递减，
，排除AB选项；
函数图像是由向左平移所得，
，.故D选项正确.
【巩固练习2】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，
又由，可得，可得，
结合选项，只有C项适合.故选：C.
【巩固练习3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C．； D．．
【答案】B
【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以，故选：B
【题型5】比较指数幂的大小
比较指数幂的大小
常用方法有：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即，故选：A
（2024·四川·模拟预测）设a=0.50.4，b=0.41.1，c=1.10.5，则（ ）
A．a【解题思路】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【解答过程】因为指数函数y=0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50=1，
又由幂函数y=x1.1在0,+∞上单调增函数，所以1=11.1>0.51.1>0.41.1，
又因为指数函数y=1.1x是单调增函数，所以1.10.5>1.10=1，
综上可得：b【巩固练习1】（2024·云南·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，因为，，
所以，所以.
【巩固练习2】设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，在上单调递减
所以，故.故选：B
【巩固练习3】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，，所以，
又，∴．故选：C．
【题型6】解指数方程或不等式
简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解
2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解
（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因为均为上单调递减函数
则在上单调递减，且，
，
故不等式的解集为.
【巩固练习1】若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
【巩固练习2】已知函数，那么不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式等价于
【巩固练习3】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】不等式，可化为，
即，解得，
所以，所以不等式的解集为．
故答案为：．
【题型7】指数型复合函数单调性
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，
根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.
（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
所以在区间单调递减，所以，解得．
【巩固练习1】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：
的单调递减区间为.故选：D
【巩固练习2】已知函数，若在上减函数，求的取值范围．
【答案】{或且}.
【解析】若在上减函数，则，
解得或，
即的取值范围是{或且}．
【巩固练习3】（2023·重庆巴蜀中学高一校考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令, 则，
当时，单调递增，且，
当时，，当时单调递增，
则函数在上单调递增，符合题意；
当时，的对称轴为，
由题意，
当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，
在上单调递减，不符合题意，综上，.
【题型8】指数型函数的值域问题
解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
函数，的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，则，
故选：A.
【巩固练习1】函数的值域是 .
【答案】
【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，
因此，
所以函数的值域是.
【巩固练习2】已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，，
令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.故选：B
【巩固练习3】函数在上的值域为___________.
【答案】
【解析】，∵则令
在递增，∴
【题型9】指数函数的实际应用
1、在自然科学中，指数函数常常用于描述增长或衰减的过程，比如生物群落的增长、放射性物质的衰变等。
2、在经济学中，指数函数也可以用来描述复利增长，即资金按比例增长的情况。
指数函数在数学和现实生活中都有重要的应用，对于描述增长和衰减过程有着很好的表现能力。
心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（ ）
A．150B．128C．122D．61
【答案】C
【分析】根据已知可求出，再代入即可求出.
【详解】由题可得，则，
所以，
即该学生在从能记忆的单词个数为122.
（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．
【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以．
【巩固练习1】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时.
【答案】
【分析】根据已知条件求得，进而求得正确答案.
【详解】依题意，两式相除得，
则，
所以当时，小时.
【巩固练习2】某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据指数式的运算求解.
【详解】由题可知，，所以，
经过天，数量变为原来的16倍，即，
则有，解得
【巩固练习3】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 分钟．
【答案】120
【分析】先把现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是代入公式，再列出此物体的温度变为时的关系式，联立二式组成方程组，解之即可求得要使物体的温度变为，还要经过的时间.
【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，
∴，即①，
要使物体的温度变为，则，即②，
联立①②，，解得，
故还要经过分钟．
【题型10】指数型复合函数的奇偶性问题与恒成立综合
1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．
2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.
【答案】
【解析】由于是定义在R上的奇函数，
所以，所以，
由于是奇函数，所以，
所以，
即，所以.
（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
解得，
又，
所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，
因为，
所以，故.
已知函数是奇函数，且.
(1)求的值；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）是奇函数，
经检验当时，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
.
【巩固练习1】已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求，的值；
(2)若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】(1)，；(2).
【分析】（1）由及即可求解；
（2）求出函数的单调性，不等式可转化为，根据二次函数的最值即可求解.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
即，所以，又因为，
所以将代入，解得，
经检验符合题意，所以，，.
（2）由（1）知：函数，
所以函数在上是减函数.
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，所以，
所以，令，
题意可知：问题等价转化为，
又因为，所以,故的取值范围为.
【巩固练习2】已知函数在区间上有最小值2和最大值10．
(1)求，的值；
(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）的对称轴为，因为，
所以在区间上最小值为，最大值为，
故解得．
（2）由（1）可得，所以可化为，
化为．令则，
因为，故，记，
故，所以实数的取值范围是．
【巩固练习3】已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，
∴当时，，
当时，为增函数，
所以时，取得最大值，
∵对，使得，
∴，
∴，解得.
【巩固练习4】已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得.
【详解】易知函数在上为单调性递增，
即可得是上的增函数，
令，则是上的增函数，
易知，可得,
即的图象关于点成中心对称，
由可得，
即，由可得；
所以，利用是上的增函数可得，
解得.
即的取值范围是.
【题型11】指数函数的综合性问题
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
已知奇函数在上的最大值为，则 ．
【答案】2或
【解析】因为是奇函数，所以，
解得，即．
当时，函数在上单调递增，则，解得．
当时，函数在上单调递减，则，解得．
故答案为：2或
（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若在上最小值为，求k的值.
【解析】（1）函数是定义域为的偶函数，
可得，即为，
化为，
由，可得，即；
（2），
设，由，递增，可得，
设，对称轴为，
当时，在,递增，可得的最小值为，
解得，舍去；
当时，在处取得最小值，且为，
解得舍去）
【巩固练习1】已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为 .
【答案】或
【解析】①当时，函数在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数.
∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为，
∴，解得，符合题意.
②当时，函数在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数.
∵，
∴函数的最大值为，而，，
当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解；
当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
【巩固练习2】已知函数在处取得最小值.
(1)求，的值；
(2)，求函数，的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的值.
【解析】（1）因为在处取得最小值，
即，，解得，；
（2）由（1）知，则，
所以，
令，∵，则，
则，，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，此时即，解得；
又，，
当时，即，解得，
所以当时，，当时，
近3年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新高考I卷，第6题,5分
从近五年的高考情况来看，指数运算与指数函数是高考的一个重点也是一个基本点，常与幂函数、二次函数 、对数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用指数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
（1）指数幂的运算性质
（2）指数函数的图像与性质
2024年北京卷，第7题,5分
2023年新高考I卷第4题，5分
2023年乙卷第4题，5分
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数