热点专题 2.5 对数与对数函数【12类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点专题 2-5 对数与对数函数
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171423465" 【题型1】指数对数混合运算
\l "_Tc171423466" 【题型2】换底公式的应用
\l "_Tc171423467" 【题型3】 对数函数的图象及应用
\l "_Tc171423468" 【题型4】对数函数过定点问题
\l "_Tc171423469" 【题型5】指对幂比较大小
\l "_Tc171423470" 【题型6】解对数方程或不等式
\l "_Tc171423471" 【题型7】对数函数模型的实际应用
\l "_Tc171423472" 【题型8】对数型复合函数的单调问题
\l "_Tc171423473" 【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题
\l "_Tc171423474" 【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题
\l "_Tc171423475" 【题型11】反函数问题
\l "_Tc171423476" 【题型12】对数函数的综合问题
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】指数对数混合运算
1、对数计算公式
（1）同底对数加减运算：；
（2）底数和真数是乘方数时：
（3）对数恒等式：
（4）倒数式：
2、对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
化简下列各式：
(1)；(2).
【巩固练习1】化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【巩固练习2】求值
（1）
（2）
（3）
（4）
【题型2】换底公式的应用
换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
已知，，则 （用，表示）
已知，，则 .（用表示）
已知，则 ．
【巩固练习1】设，，
（1）用含，的式子表示，形式为___________.
（2）用含，的式子表示，形式为___________.
【巩固练习2】设，求的值．
【题型3】 对数函数的图象及应用
对数函数的图象（底大图低）
方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.
已知函数① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(0， ) C．(0，1] D．[1，+∞)
【巩固练习1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【巩固练习3】已知函数，若且，则的取值范围为 .
【题型4】对数函数过定点问题
对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0；
函数过定点
函数 (且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．
【巩固练习1】已知函数f(x)=1+lga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)，则m+n=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【巩固练习2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【巩固练习3】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【题型5】指对幂比较大小
1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
2、当底数和真数的差或倍数一样时， 可以考虑拆出一个1
例1：和（倍数一致）
简析：；，由图像可知
例2：和（差一致）
简析：；，由图像可知
设，，，则（ ）
A．B．C．D．
设，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】已知，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【巩固练习3】已知，，，则
A．B．C．D．
【巩固练习4】设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型6】解对数方程或不等式
【方法技巧】
（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．
方程的解为________
设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，
不等式的解集为 ．
【巩固练习1】方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【巩固练习2】已知，则的值为____．
【巩固练习3】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．
【巩固练习4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．
【题型7】对数函数模型的实际应用
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析
式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）
为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少．那么此人在开车前至少要休息 （参考数据：，
A．4.1小时B．4.2小时C．4.3小时D．4.4小时
【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式：求得．其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则约等于 （参考数据：
A．0.22B．0.27C．0.36D．0.55
【巩固练习2】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则 年我国人口将超过20亿．（，，）
【巩固练习3】我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【题型8】对数型复合函数的单调问题
对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．
【巩固练习1】函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题
对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
已知函数的最大值为2，则 ．
【巩固练习1】已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.
【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题
常见指对型函数奇偶模型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）是偶函数，如，
设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】已知是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求；(2)解不等式．
【巩固练习2】设函数为偶函数．
(1)求k的值；(2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．
【题型11】反函数问题
指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数
（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【题型12】对数函数的综合问题
1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决．
若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习】设定义域为R的函数，若关于x的方程有8个不同的实根，到实数b的取值范围是 .
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年II卷第8题，5分
从近四年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
（1）对数的概念及运算性质
（2）对数函数的图象
（3）对数函数的性质
2024年北京卷第7题，4分
2024年天津卷第5题，5分
2023年北京卷第11题，5分
2023年I卷第10题，5分
2022年I卷I卷第7题，5分
2022年浙江卷第7题，5分
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数