数学必修第二册第6章 三角优秀单元测试课后作业题

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1．（2023春•普陀区校级期末）已知，，则 ．
【分析】根据两角差的正切公式，展开运算，得解．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角差的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（2023春•长宁区期末）已知，，，，则 ．
【分析】先利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，再由两角和的余弦公式，展开运算，得解．
【解答】解：因为，，
所以，
又，，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．（2023春•静安区期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点．则角的余弦值为 ．
【分析】由三角函数的定义直接求得．
【解答】解：因为点到原点的距离，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数定义，属基础题．
4．（2023春•长宁区期末）已知，则 ．
【分析】由已知结合诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
5．（2023春•浦东新区校级期末）已知的三边，，，则角的大小是 ．
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
【解答】解：，，，
则，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
6．（2023春•长宁区校级期末）已知，则 ．
【分析】由，利用诱导公式可求得，继而可求得的值．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的应用，属于基础题．
7．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则 1或 ．
【分析】直接运用倍角公式计算．
【解答】解：由题意，
或，
或．
故答案为：1或．
【点评】本题考查了倍角公式的运用，是基础题．
8．（2023春•浦东新区校级期末）已知，则 ．
【分析】把已知条件直接代入二倍角的正切公式计算可得．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二倍角的正切公式，属基础题．
9．（2023春•宝山区校级期中）在中，三边，，满足，则的取值范围是 ， ．
【分析】由题意运用余弦定理和基本不等式可得，进而可求的范围．
【解答】解：因为中，三边，，满足，
所以，
即，
又因为，
所以，，即，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式在解三角形中的运用，属于基础题．
10．（2023春•黄浦区期末）在中，若，，且，则 或 ．
【分析】由正弦定理可得，的表达式，由题意可得，之和及之积，进而求出的大小．
【解答】解：因为，，且，
三角形中，由正弦定理可得，
即，，
所以，
由题意，所以，
可得，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得，
设，为方程，解得或，
所以为或．
故答案为：或．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
11．（2023春•虹口区校级期末）在中，，，为边的中点，则的外接圆面积与的外接圆面积之比为 ．
【分析】由题设的外接圆半径为，的外接圆半径为，由正弦定理可得，从而求得．
【解答】解：设的外接圆半径为，的外接圆半径为，
在中，由正弦定理知：，
在中，由正弦定理知：，
，，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理与三角形外接圆半径的关系，属于基础题．
12．（2023春•奉贤区校级期中）在中，若，那么 ．
【分析】由正弦定理可得，进而可用表示，，代入余弦定理化简可得．
【解答】解：在中，，
由正弦定理可得：，
，，
由余弦定理可得．
故答案为：．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，用表示，是解决问题的关键，属于基础题．
二．选择题（共4小题）
13．（2023春•虹口区校级期中）设，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
【分析】利用二倍角公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：①当时，则，充分性成立，
②当时，则，，，必要性不成立，
综上，是的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了二倍角公式的应用、简易逻辑的应用，属于基础题．
14．（2023春•奉贤区校级期中）已知，其中，，则
A．B．C．D．
【分析】利用正弦两角差公式将展开，根据已知等式对应系数相等可得，从而得，再根据以及，的取值情况，即可求得的值．
【解答】解：因为，
所以，则，即，
又，所以或，
由，可知，，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于基础题．
15．（2023春•青浦区校级期中）在中，若，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得，由余弦函数性质判断，然后结合二倍角公式判断．
【解答】解：设三边，，所对的角分别为，，，
由，则，，正确；
由余弦函数性质知，正确；
，，
当为钝角时就有，错误；
，，，正确．
故选：．
【点评】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
16．（2023春•松江区校级月考）已知，化简的结果是
A．B．C．D．
【分析】由倍角公式化简即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．
三．解答题（共6小题）
17．（2023春•长宁区期末）已知锐角、满足，，求的值．
【分析】利用两角和的正切公式，即可得解．
【解答】解：因为，，
所以，
又锐角、，
所以，
所以．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2023春•普陀区校级期中）在中，角，，的对边分别是，，，若，且．
（1）当，时，求，的值；
（2）若角为锐角，求实数的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理将中的角化为边，再结合已知条件，解方程组，即可；
（2）结合余弦定理与，解不等式，即可．
【解答】解：（1）由正弦定理及知，，
因为，，
所以，
又，
所以，或，．
（2）由（1）知，，且，
由余弦定理得，，
因为为锐角，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19．（2023春•金山区校级月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长
【分析】（1）根据题意，由正弦定理结合二倍角公式化简，即可得出答案；
（2）由三角形的面积公式可得，再由余弦定理可得，然后再由完全平方公式变形，即可得出答案．
【解答】解：（1），
在中，由正弦定理得，
又，，则，，
则，即，
；
（2）由（1）得，则，即，
在中，由余弦定理得，
即，即，
又，，
，
则的周长为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（2023春•浦东新区校级期中）如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里．
（1）求处距离航标灯的距离；
（2）求的值．
【分析】（1）根据已知条件，直接利用余弦定理，即可求解．
（2）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
【解答】解：（1），，，
由余弦定理可得，，解得海里．
（2），
则由正弦定理可得，，
故．
【点评】本题主要考查解三角形，考查正弦定理，以及余弦定理，属于中档题．
21．（2023春•闵行区校级期中）已知三个内角、、对应边分别为、、，，．
（1）若，求的面积；
（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值．
【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知可得，进而求得，可求的面积；
（2）在中，由余弦定理可得，可解得，进而在中，由余弦定理可得，利用正弦定理即可求得外接圆半径的值．
【解答】解（1）因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
所以的面积．
（2）因为线段的中点为，若，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，解得或（舍去），所以，
在中，由余弦定理可得，
由（1）知，
所以由正弦定理可得外接圆半径．
【点评】本题考查正余弦定理，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属中档题．
22．（2023春•徐汇区校级期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且．
（1）求的大小；
（2）现给出三个条件：（1）；（2）；（3）．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）
【分析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出的值．
（2）选①③通过余弦定理，求出，，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．
【解答】解：（1）由代入正弦定理得：
，
即，
，又，
；
（2）选①③，
由余弦定理：，
，，
，
选①②，
由正弦定理得：，
又，
，
选②③这样的三角形不存在．
【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．