河北武强中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北武强中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则( )
A．B．
C．D．
2．过点且倾斜角为的直线方程为( )
A.B.C.D.
3．若直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为( )
A．B．
C．或D．或
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则( )
A．-3或3B．-2或4C．-1或5D．-2或2
5．圆与圆的公切线共有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．如图，从外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，，的半径为4，则圆心O到AC的距离为( )
A．B．C．D．
7．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为( )
A．B．C．4D．
8．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为B，为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
二、多项选择题
9．点在圆的内部，则a的取值不可能是( )
A．-2B．
C．D．2
10．已知直线,,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则或
C.当时,是直线的方向向量
D.原点到直线的最大距离为
11．已知圆与直线,下列选项正确的是( )
A.圆圆心坐标为B.直线过定点
C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相切
12．已知椭圆分别为它的左右焦点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A．点P到右焦点的距离的最大值为9
B．焦距为10
C．若，则的面积为9
D．的周长为20
三、填空题
13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为___________.
14．已知直线：与圆交于A,B两点，则______.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为_____.
16．直线不过第二象限，则a的取值范围为_____．
四、解答题
17．求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
18．已知直线,．
（1）若,求a的值；
（2）若,求a的值．
19．已知圆与圆
（1）求经过圆与圆交点的直线方程：
（2）求圆与圆的公共弦长.
20．在平面直角坐标系xOy中，点，圆.
(1)求b的取值范围，并求出圆心坐标；
(2)若圆C的半径为1，过点A作圆C的切线，求切线的方程.
21．如图,已知平面,为矩形,,M,N分别为AB,PC的中点,
(1)求证：平面PAD;
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.
22．已知椭圆C过点，焦距为，设P为C上的一点，，是C的左、右焦点，若，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：中，令，解得，令，，
故.
故选：B
2．答案：D
解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：D
3．答案：D
解析：当直线l在两坐标轴上的截距均为零时，设方程为，
因为直线l过点，所以有，
当直线l在两坐标轴上的截距均不为零时，
因为在两坐标轴上的截距互为相反数，
所以方程设为，
因为直线l过点，所以，
综上所述：直线l的方程为或，
故选：D
4．答案：A
解析：由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
5．答案：B
解析：圆即的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
圆心距为，满足，
即两圆相交，所以公切线共有2条，
故选：B
6．答案：B
解析：连接OB，过O点向AC引垂线，垂足为E，如图所示，
，，由切割线定理可得，
，，
，由垂径定理得．
又，
．
故选：B
7．答案：B
解析：由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为，
故选：B
8．答案：B
解析：因为为线段OB的中点，且，所以，
又椭圆C的离心率，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B
9．答案：AD
解析：由已知条件可得，即，解得.
故选：AD
10．答案：AD
解析:对选项A:,则,解得,故A正确;
对选项B:当时,两条直线重合,故B错误;
对选项C:时,,斜率为,的方向向量是,故C错误;
对选项D:过定点,故原点到直线的最大距离为,故D正确.
故选:AD.
11．答案：ABC
解析：对于A,圆的圆心坐标为,正确;
对于B,直线方程即,由可得,
所以直线过定点,正确;
对于C,记圆心,直线过定点,则,
当直线AC与直线垂直时,圆心C到直线的距离最大,
此时直线截圆所得的弦长最小,
此时弦长为,正确;
对于D,因为,所以点在圆内,直线与圆必相交,错误.
故选：ABC.
12．答案：AC
解析：解：由椭圆的方程得：
.
对A当点P为椭圆的左顶点时，点P到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为B错误；
对C.由题意得：，①
由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，
的面积为，故C正确
对D，的周长为，故D错误；
故选：AC
13．答案：3
解析：由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3
14．答案：
解析：由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
根据圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
15．答案：
解析：，
，则，
将点代入方程得，解得，则，
故椭圆C的方程为.
故答案为：.
16．答案：
解析：当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；
当时，将直线化为斜截式为：.
由于不过第二象限，所以，解得；
综上：，故a的取值范围为：.
故答案为：.
17．答案：(1) ；
(2).
解析：(1)由，解得，
所以交点.
因为斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
(2)由垂直可得所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为,所以,
整理得,解得或．
当时,,符合题意,
当时,,,与重合,
故．
（2）因为,所以,
整理得,
解得或．
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）圆圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
20．答案：(1)b的取值范围，圆心坐标为；
(2)，或.
解析：(1)由，
因为该方程表示圆，
所以有，
因此b的取值范围，圆心坐标为；
(2)若圆C的半径为1，则有，
当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，
当过的切线存在斜率时，设为k，方程为，
若圆C的半径为1，则有，或，
即，或，
所以切线的方程为，或.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：取PD中点Q,连接AQ,QN,N分别为PC的中点,则,,
又因为ABCD为矩形,则,M分别为AB的中点,则,
故,,所以四边形AMNQ为平行四边形,
所以,因为平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD;
(2)以A为坐标原点,以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图,
因为,
所以,
,.
设平面PMC法向量为：,
则,令,则.
设PD与平面PMC所成角为,,
则.
即PD与平面PMC所成角的正弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆C的标准方程为，
由已知得解得
故椭圆C的标准方程为.
（2）由椭圆的定义可得，
如图，在中，由余弦定理可得
，
整理得，
所以，
故.