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2023-2024学年河北省衡水市武强中学高二上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河北省衡水市武强中学高二上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据截距的定义进行求解.
【详解】中，令，解得，令，，
故.
故选：B
2．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.
【详解】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，
则时，，时，，
由题意知，
解得或，即直线方程为或.
故选：
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3B．或4C．或5D．或2
【答案】A
【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数，然后由平行线间的距离公式求出参数，最后由即可求出答案.
【详解】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题.
5．圆与圆的公切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.
【详解】圆即的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
圆心距为，满足，
即两圆相交，所以公切线共有2条，
故选：B.
6．如图，从外一点引圆的切线和割线，已知，，的半径为4，则圆心到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要求圆心到的距离，先做出点到的垂线段，则的长度即为所求，根据半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理，求出半弦长，根据切割线定理，我可以求出长，进而得到，代入即可得到答案．
【详解】连接，过点向引垂线，垂足为，如图所示，
，，由切割线定理可得，
，，，
，由垂径定理得．
又，．
故选：B．
7．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.
【详解】由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为，
故选：B
8．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由点的坐标求得，通过离心率求得，即可求解椭圆方程.
【详解】因为为线段的中点，且，所以，
又椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
二、多选题
9．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
10．已知直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．当时，是直线的方向向量
D．原点到直线的最大距离为
【答案】AD
【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，解得，正确；
对选项B：当时，两条直线重合，错误；
对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；
对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.
故选：AD
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为9
B．焦距为10
C．若，则的面积为9
D．的周长为20
【答案】AC
【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．
【详解】解：由椭圆的方程得：
.
对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为B错误；
对C.由题意得：，①
由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，
的面积为，故C正确
对D，的周长为，故D错误；
故选：AC
三、填空题
13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 .
【答案】3
【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的
距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3.
14．已知直线：与圆交于两点，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
根据圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为 .
【答案】
【解析】由离心率可得，将点代入方程即可求出，即求出椭圆方程.
【详解】，，则，
将点代入方程得，解得，则，
故椭圆C的方程为.
故答案为：.
16．直线不过第二象限，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可.
【详解】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；
当时，将直线化为斜截式为：.
由于不过第二象限，所以，解得；
综上：，故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题
17．求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出交点坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程；
（2）由垂直，斜率乘积等于得直线斜率，可得直线方程．
【详解】解：（1）由，解得，
所以交点.
因为斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
（2）由垂直可得所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
18．已知直线．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由两直线平行的条件求解；
（2）由两直线垂直的条件求解．
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，符合题意，
当时，与重合，
故．
（2）因为，所以，
整理得，
解得或．
19．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
20．在平面直角坐标系中，点，圆.
(1)求的取值范围，并求出圆心坐标；
(2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.
【答案】(1)的取值范围，圆心坐标为；
(2)，或.
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由，
因为该方程表示圆，
所以有，
因此的取值范围，圆心坐标为；
（2）若圆的半径为1，则有，
当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，
当过的切线存在斜率时，设为，方程为，
若圆的半径为1，则有，或，
即，或，
所以切线的方程为，或.
五、证明题
21．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面, 原题即得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，，
∵，分别为，的中点，
∴且，又为的中点，底面为正方形，
∴且，
∴且，故四边形为平行四边形，∴.
.
因为平面ABCD，CD在面ABCD内，所以.
又，平面,
所以平面，AE在面PAD内，所以.
又平面,
所以平面,
所以平面.
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，
所以，
故，
设平面的法向量，则，得，
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
六、解答题
22．已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：
(1)椭圆的标准方程
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；
利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得解得，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）如图，由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得，
整理得，
又，
所以，
故．
一、单选题
1．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据截距的定义进行求解.
【详解】中，令，解得，令，，
故.
故选：B
2．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.
【详解】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，
则时，，时，，
由题意知，
解得或，即直线方程为或.
故选：
4．已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A．或3B．或4C．或5D．或2
【答案】A
【解析】先根据两直线平行由系数的关系求出参数，然后由平行线间的距离公式求出参数，最后由即可求出答案.
【详解】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，即.
故选：A.
【点睛】本题考查了两平行直线间系数的关系，考查了平行直线间距离公式的应用，考查了运算能力，属于一般难度的题.
5．圆与圆的公切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】判断出两圆的位置关系即可得结果.
【详解】圆即的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
圆心距为，满足，
即两圆相交，所以公切线共有2条，
故选：B.
6．如图，从外一点引圆的切线和割线，已知，，的半径为4，则圆心到的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要求圆心到的距离，先做出点到的垂线段，则的长度即为所求，根据半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，满足勾股定理，求出半弦长，根据切割线定理，我可以求出长，进而得到，代入即可得到答案．
【详解】连接，过点向引垂线，垂足为，如图所示，
，，由切割线定理可得，
，，，
，由垂径定理得．
又，．
故选：B．
7．已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.
【详解】由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为，
故选：B
8．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由点的坐标求得，通过离心率求得，即可求解椭圆方程.
【详解】因为为线段的中点，且，所以，
又椭圆的离心率，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
二、多选题
9．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
10．已知直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．当时，是直线的方向向量
D．原点到直线的最大距离为
【答案】AD
【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，则，解得，正确；
对选项B：当时，两条直线重合，错误；
对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；
对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.
故选：AD
11．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；
对于B，直线方程即，由可得，
所以直线过定点，正确；
对于C，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
12．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．点到右焦点的距离的最大值为9
B．焦距为10
C．若，则的面积为9
D．的周长为20
【答案】AC
【分析】对于A选项，由椭圆性质知：当点为椭圆的左右顶点时，点到右焦点的距离分别最大，最小，即可求解；对于B，由椭圆方程可得焦距；对于C，由题意及椭圆定义，结合三角形面积公式即可求解；对于D，结合椭圆的性质可得．
【详解】解：由椭圆的方程得：
.
对A当点为椭圆的左顶点时，点到右焦点的距离的最大，且为9，故A正确；
对B.焦距为B错误；
对C.由题意得：，①
由椭圆定义得：，
即，②
②-①得：，
的面积为，故C正确
对D，的周长为，故D错误；
故选：AC
三、填空题
13．点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为 .
【答案】3
【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.
【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的
距离，故P到点的距离的最小值为3.
故答案为：3.
14．已知直线：与圆交于两点，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
根据圆的弦长公式，可得.
故答案为：.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点离心率为则椭圆C的方程为 .
【答案】
【解析】由离心率可得，将点代入方程即可求出，即求出椭圆方程.
【详解】，，则，
将点代入方程得，解得，则，
故椭圆C的方程为.
故答案为：.
16．直线不过第二象限，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可.
【详解】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；
当时，将直线化为斜截式为：.
由于不过第二象限，所以，解得；
综上：，故的取值范围为：.
故答案为：.
四、解答题
17．求经过直线与直线的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出交点坐标，由平行斜率相等得直线斜率，从而可得直线方程；
（2）由垂直，斜率乘积等于得直线斜率，可得直线方程．
【详解】解：（1）由，解得，
所以交点.
因为斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
（2）由垂直可得所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，
即.
18．已知直线．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由两直线平行的条件求解；
（2）由两直线垂直的条件求解．
【详解】（1）因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，符合题意，
当时，与重合，
故．
（2）因为，所以，
整理得，
解得或．
19．已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
20．在平面直角坐标系中，点，圆.
(1)求的取值范围，并求出圆心坐标；
(2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.
【答案】(1)的取值范围，圆心坐标为；
(2)，或.
【分析】（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）由，
因为该方程表示圆，
所以有，
因此的取值范围，圆心坐标为；
（2）若圆的半径为1，则有，
当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意，
当过的切线存在斜率时，设为，方程为，
若圆的半径为1，则有，或，
即，或，
所以切线的方程为，或.
五、证明题
21．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．
(1)求证：平面PCD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面, 原题即得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，，
∵，分别为，的中点，
∴且，又为的中点，底面为正方形，
∴且，
∴且，故四边形为平行四边形，∴.
.
因为平面ABCD，CD在面ABCD内，所以.
又，平面,
所以平面，AE在面PAD内，所以.
又平面,
所以平面,
所以平面.
（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，
所以，
故，
设平面的法向量，则，得，
设与平面所成角为，则，
故与平面所成角的正弦值为.
六、解答题
22．已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：
(1)椭圆的标准方程
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；
利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得解得，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）如图，由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得，
整理得，
又，
所以，
故．
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