河北武强中学2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河北武强中学2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若角为第二象限角,,则( )
A.B.C.D.
3．已知是关于x的方程的一个根,,,则( )
A.0B.2C.1D.4
4．若,且,则( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则( )
A.B.C.D.
6．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为( )
A.B.C.4D.
7．已知圆关于直线对称,则的最小值是( )
A.2B.3C.6D.4
8．若函数,在上单调递增,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．设正实数m,n满足,则( )
A.的最小值为B.的最大值为
C.的最大值为D.的最小值为
10．已知函数的最小正周期为,则( )
A.的最大值为2
B.在上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.的图象可由的图象向右平移个单位得到
11．已知函数，则( )
A.是的极小值点B.有两个极值点
C.的极小值为1D.在上的最大值为2
三、填空题
12．已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则a的值为______.
13．已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,若在上是增函数,则正数m的取值范围是__________.
14．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为___________.
四、解答题
15．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且.
（1）求B;
（2）若,,D为AC边的中点,求BD的长.
16．设三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且.
(1)求角A的大小;
(2)若,边上的高为,求三角形的周长.
17．已知函数.
(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
18．已知函数.
（1）若曲线在处的切线与y轴垂直，求的极值.
（2）若在只有一个零点，求a.
19．基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题.
（1）已知，证明；
（2）已知，证明，并指出等号成立的条件；
（3）已知，证明：，并指出等号成立的条件.
（4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：
①已知，证明：；
②已知，且，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得,又因为,所以,
所以,
故选:C.
2．答案：B
解析：因为,,又角为第二象限角,
解得.
故选:B
3．答案：D
解析：因为是关于x的方程的一个根,,,
所以是关于x的方程的一个根,
于是有,
故选:D
4．答案：D
解析：因为,
又,即,则,
所以,
故.
故选:D
5．答案：C
解析：因为,所以,
则,所以,
则,所以,,.
故选:C
6．答案：B
解析：，使得成立是真命题，
所以，恒成立.
所以在上恒成立，
所以，，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为圆关于直线对称,
所以直线l过圆心,即,
则
因为,且,所以,
所以,
当且仅当即等号成立,
则的最小值是4.
故选:D.
8．答案：A
解析：当时,单调递增且值域为,而在上单调递增,
则在上单调递增,且,
当时,在上单调递增,满足题设;
当时,在上单调递增,此时只需,即;
综上,.
故选:A
9．答案：ABD
解析：对于A,因为正实数m,n,满足,
所以,
当且仅当且,即,时等号成立,故A正确;
对于B,,
则,当且仅当时等号成立,故B正确;
对于C,,,当且仅当时等号成立,
所以的最大值为,故C错误;
对于D,由,可得,
当且仅当时等号成立,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：易知,其最小正周期为,
所以,即,显然,故A正确;
令,
显然区间不是区间的子区间,故B错误;
令,则是的一个对称中心,故C正确;
将的图象向右平移个单位得到
,
故D正确.
故选:ACD
11．答案：BD
解析：由题设，
令，则或，令，则，
所以、上递增，上递减，
故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确；
在上，在上递减，在上递增，而，
所以在上的最大值为2，D正确.
故选：BD
12．答案：或
解析：曲线的导数,
曲线在处的切线的倾斜角为,
,
,
故答案为:.
13．答案：
解析：因为,所以,则包含0的增区间为,
因为,所以,所以故m的取值范围为.
14．答案：
解析：，，.
由正弦定理，得，.由余弦定理，得，
且，，当且仅当时等号成立，，
，面积的最大值为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由三角形面积公式及条件可知:,
由余弦定理知,
所以,
因为,所以;
（2）结合（1）的结论,根据余弦定理有,
所以,易知,
所以,
即.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为A,B,C为的内角,所以,
因为,所以可化为：,
即,即,
因为,解得：,即.
(2)由三角形面积公式得,代入得：,
所以,由余弦定理得：,
解得：或舍去,即,
所以的周长为.
17．答案：(1)；
(2)有最大值，最大值为e
解析：（1）因为，所以，
因为在R上单调递减，所以恒成立，
所以，，所以a的取值范围是.
（2）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以当时，单调递增，当，时，单调递减，当时，，又时，，
所以有最大值，最大值为e.
18．答案：（1）极小值，无极大值；
（2）.
解析：（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析，当且仅当时取“”；
(3)证明见解析，当且仅当时取“”；
(4)①证明见解析；②.
解析：（1）由可知，，当且仅当时取“” ，
所以.
（2）因为，
由（1）可得，当且仅当时取“”，
则，
所以，当且仅当时取“”.
（3）当时，
因为，
由（1）可得，当且仅当时取“”
则，
所以，当且仅当时取“”.
（4）①由（2）可知，当且仅当时取“”，
即，所以
②因为，
由（3）可得：，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为.