江苏省常州市第三中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份江苏省常州市第三中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在某中学理科竞赛中，张敏同学的数学、物理、化学得分(单位：分)分别为84，88，92，若依次按照4：3：3的比例确定理科成绩，则张敏的成绩是( )
A．84分B．87.6分C．88分D．88.5分
2、（4分）某商店销售一种商品，售出部分商品后进行了降价促销，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则降价后每件商品的销售价格为（ ）
A．12元B．12.5元C．16.25元D．20元
3、（4分）下列实数中，能够满足不等式的正整数是（ ）
A．-2B．3C．4D．2
4、（4分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为20，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x+10B．y＝﹣x+10C．y＝x+20D．y＝﹣x+20
5、（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6、（4分）下列式子没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列四个数中的负数是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示：
请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（ ）
A．400tB．500tC．700tD．600t
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）阅读下面材料：
小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：
小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”
请回答：小聪判断的理由是 ．请写出函数的一条性质： ．
10、（4分）如图，中，，，，则__________．
11、（4分）若分式的值为零，则__________.
12、（4分）点A（a,b）是一次函数y=x+2与反比例函数的图像的交点，则__________。
13、（4分）在两条垂直相交的道路上，一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去，若自行车与摩托车每秒分别行驶7.5米、10米，则10秒后两车相距______米；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线。这是推动新时代中国特色社会主义思想、推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织随机抽取了部分党员的某天的学习成绩并进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分，且），根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第2、第5两组测试成绩人数直方图的高度比为，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：
（1）填空：_____，______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这次积分的中位数落在第______组；
（4）已知该党组织共有党员225人；请估计当天学习积分获得“优秀”等级（）的党员有多少人？
15、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1．求CF的长．
16、（8分）计算
（1）分解因式：a2-b2+ac-bc
（2）解不等式组，并求出不等式组的整数解之和．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（1）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1．
18、（10分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AB ∥ CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形.
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形.（直接写出一个符合要求的条件）.
（3）对角线AC和BD交于点O，∠ ADC =120°，AC=8， P为对角线AC上的一个动点，连接DP，将DP绕点D逆时针方向旋转120°得到线段DP1，直接写出A P1的取值范围.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知空气的密度是0.001239，用科学记数法表示为________
20、（4分）已知在正方形中，，则正方形的面积为__________．
21、（4分）在平面直角坐标系中，点P（a-1，a）是第二象限内的点，则a的取值范围是__________。
22、（4分）小明的生日是6月19日，他用6、1、9这三个数字设置了自己旅行箱三位数字的密码，但是他忘记了数字的顺序，那么他能一次打开旅行箱的概率是__________.
23、（4分）如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的周长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（阅读理解题）在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边都乘以x﹣3，得2﹣x＝﹣1﹣2①．移项得﹣x＝﹣1﹣2﹣2②．解得x③．
（1）你认为小明在哪一步出现了错误？ （只写序号），错误的原因是 ．
（2）小明的解题步骤完善吗？如果不完善，说明他还缺少哪一步？答： ．
（3）请你解这个方程．
25、（10分）如图，直线y=－x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点C坐标为（2,0），设点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标．
26、（12分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，直线经过点，并与轴交于点，直线与相交于点；
（1）求直线的解析式；
（2）点是线段上一点，过点作交于点，若四边形为平行四边形，求点坐标.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案.
故选B.
【详解】
解：（分）.
本题考查了加权平均数.理解“权”的含义是解题的关键.
2、B
【解析】
首先根据题意求出降价后的函数关系式，其斜率即为每件商品的销售价格，即可得解.
【详解】
根据题意，设降价后的函数解析式为
由图像可知，该函数过点（40,800）和（80,1300），代入得
解得
∴
故降价后每件商品的销售价格为12.5元，
故答案为B.
此题主要考查一次函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
3、D
【解析】
将各项代入，满足条件的即可.
【详解】
A选项，-2不是正整数，不符合题意；
B选项，，不符合题意；
C选项，，不符合题意；
D选项，，符合题意；
故选：D.
此题主要考查不等式的正整数解，熟练掌握，即可解题.
4、B
【解析】
设点P的坐标为（x，y），根据矩形的性质得到|x|+|y|=10，变形得到答案．
【详解】
设点P的坐标为（x，y），
∵矩形的周长为20，
∴|x|+|y|＝10，即x+y＝10，
∴该直线的函数表达式是y＝﹣x+10，
故选：B．
本题考查的是一次函数解析式的求法，掌握矩形的性质、灵活运用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
5、C
【解析】
一次项系数-3＜1，则图象经过二、四象限；常数项5＞1，则图象还过第一象限．
【详解】
解：∵-3＜1，∴图象经过二、四象限；
又∵5＞1，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限．
所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于1或是小于1．可借助草图分析解答．
6、A
【解析】
试题分析：A．没有意义，故A符合题意；
B．有意义，故B不符合题意；
C．有意义，故C不符合题意；
D．有意义，故D不符合题意；
故选A．
考点：二次根式有意义的条件．
7、C
【解析】
将各数化简即可求出答案．
【详解】
解：A.原式，故A不是负数；
B.原式，故B不是负数；
C. 是负数；
D.原式，故D不是负数；
故选：C．
本题考查正数与负数，解题的关键是将原数化简，本题属于基础题型．
8、D
【解析】
先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数500即可解答．
【详解】
解：=1.2（t），
500×1.2=600（t），
答：估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是600 t；
故选：D．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
00
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、如：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象； 当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大
【解析】
【分析】结合函数解析式y的取值范围可判断图象的大概情况，从函数图象可得出相关信息.
【详解】
(1). 因为，函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象，所以是错的；
(2).根据函数的图象看得出： 当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大.
故答案为(1).如：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象； (2). 当x≤-1时，y随x增大而减小，当x≥1时，y随x增大而增大
【点睛】本题考核知识点：函数的图象.解题关键点：从函数图象获取信息.
10、
【解析】
利用平行四边形的对角线互相平分得出AO=AC=1，BD=2BO，根据勾股定理求出BO的长，进而可求出BD的长.
【详解】
解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=AC=2，
∴AO=CO= AC=1，BD=2BO．
∵AB⊥AC，
∴BD=2BO=，
故答案为：.
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单.
11、-1
【解析】
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【详解】
解：分式的值为零，
则a+1=0，
解得：a=-1．
故答案为-1．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
12、-8
【解析】
把点A（a，b）分别代入一次函数y=x-1与反比例函数 ，求出a-b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】
∵点A(a,b)是一次函数y=x+2与反比例函数的交点，
∴b=a+2,，即a−b=-2，ab=4，
∴原式=ab(a−b)=4×（-2）=-8.
反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，在对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可.
13、1
【解析】
直接根据题意画出直角三角形，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由题意可得，在Rt△ACB中，AC=75m，BC=100m，
则AB==1（m），
故答案为：1．
本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）故答案为4，32%;（2）图形见解析;(3)第三组;(4)18 (人)
【解析】
（1）根据3组的人数除以3组所占的百分比，可得总人数，进而可求出1组，4组的所占百分比，则a，b的值可求；
（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；
（3）50个人的数据中,中位数是第25和26两人的平均数,
(4)用225乘以“优秀”等级（）的所占比重即可求解．
【详解】
（1）由题意可知总人数＝15÷30%＝50（人），
所以4组所占百分比＝10÷50×100%＝20%，1组所占百分比＝5÷50×100%＝10%，
因为2组、5组两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，
所以5a＝50−5−15−10，
解得a＝4，
所以b＝16÷50×100%＝32%，
故答案为4，32%；
（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：
(3) 50个人的数据中,中位数是第25和26两人的平均数,而第25和26两人都出现在第三组,
(4)(人)
此题考查了频数分布表和条形统计图．认真审题找到两个图表中的关联信息,通过明确的信息推出未知的变量是解题关键．
15、．
【解析】
首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB=DE=CD，即D为CE中点，然后再得CE=4，再利用三角函数可求出HF和CH的长即可．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
四边形ABDE是平行四边形，
，即D为CE中点，
，
，
，
，
过E作于点H，
，，
，
，
，
．
本题考查了平行四边形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握平行四边形对边相等．
16、（1）（a-b）（a+b+c）；（2）0≤x≤3，1
【解析】
（1）利用分组分解法先分组，再提公因式和利用平方差公式分解，最后提公因式a-b可解答；
（2）解不等式组，并找出整数解，相加可解答．
【详解】
（1）a2-b2+ac-bc，
=（a2-b2）+（ac-bc），
=（a+b）（a-b）+c（a-b），
=（a-b）（a+b+c）；
（2），
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x≥0，
∴不等式组的解集为：0≤x≤3，
∴不等式组的整数解为：0、1、2、3，
和为0+1+2+3=1．
本题考查了提取公因式法和分组分解法因式分解、解不等式组，（1）中难点是采用两两分组还是三一分组，a2-b2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac-bc可提公因式为一组，（2）的关键是准确求出两个不等式的解集．
17、 (1)见解析.(1)见解析.
【解析】
（1）利用点平移的坐标特征写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A1，C1，即可得到△A1BC1．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（1）如图所示：△A1BC1即为所求．
本题考查了作图-旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18、 (1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】
分析：（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，然后证明它是菱形即可.
（2）由（1）已知四边形ABCD是菱形，所以当△ABD是直角三角形时，四边形ABCD是正方形.
（3）将线段AC顺时针方向旋转60°得到线段CE，并连接AE，点到直线的距离垂线段最短，所以AP1垂直CE时，AP1取最小值，点P1在E点，AP1取最大值，即可求解.
详解：证明：（1） AB=AD，CB=CD，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，
∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
（2）要使四边形ABCD是正方形，则∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，
∴当△ABD是直角三角形时，即∠BAD=90°时，四边形ABCD是正方形；
（3）以点C为中心，将线段AC顺时针方向旋转60°得到线段CE，由题意可知，点P1在线段CE上运动.
连接AE，
∵AC=CE，∠ACE=60°，∴△ACE为等边三角形，
∴AC=CE=AE=8，过点A作于点F，
∴.当点P1在点F时，线段AP1最短，此时；.
当点P1在点E时，线段AP1最长，此时AP1=8，
..
点睛：本题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，结合题意认真分析是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.239×10-3.
【解析】
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.001239=1.239×10-3
故答案为：1.239×10-3.
本题考查了科学记数法的表示，熟练掌握n的值是解题的关键.
20、
【解析】
正方形是特殊的菱形，故根据菱形的面积计算公式即可求正方形ABCD的面积，即可解题．
【详解】
如图，
∵AC的长为4，
∴正方形ABCD的面积为×42=1，
故答案为：1．
本题考查了正方形面积的计算，掌握正方形的面积公式是解题关键．
21、0