四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024-2025学年高三上学期10月考数学试题（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
2. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（）
A. B. C. D.
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
4. 下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）
A. B. C. D.
5. 设函数，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
6 已知函数，，，，则（）
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象可能是（）
A. B.
C. D.
8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（）
A. B. C. eD. 2e
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）

A
B. 在区间上单调递减
C. 在区间上有3个极值点
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称
10. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a可能取值为（）
A. B. C. D. 0
11. 已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为锐角，若，则的值为__________.
13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
14. 已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题
15. 已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值．
16. 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，
（1）求动点轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若满足，求证：；
（3）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828