2024-2025学年四川省成都市高三上册12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册12月月考数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
2．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C． D．
4．直线被圆截得的最短弦的弦长为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（ ）
A． B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件，为互斥事件B．事件B，C为独立事件
C．D．
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为
B．“”在上恒成立的充要条件是“”
C．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则
D．设，，，则的大小关系为
11．已知函数在区间上单调，对，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数在区间上单调，则
B．若函数在上恰存在个极值点，则
C．函数在上有四个零点，则
D．若，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知复数（其中为虚数单位）， .
13．为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为 .
14．已知函数在上单调递增，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16．在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
17．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的方程.
18．已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)若存在极大值，求a的取值范围.
19．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的p阶和数列.
(1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求；
(2)若，求的二阶和数列的前n项和；
(3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时的公差.
答案
1．【正确答案】D
【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则取从小到大排列后的第8个数，
即该组数据的第75百分位数为18.
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】因为为等差数列的前项和，且，
所以，解得，
又公差，所以，，
所以，
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】.
因，则.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】设圆的圆心为点，圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，
直线的方程可化为：，所以直线恒过定点，
当直线时，直线截圆的弦长最小，根据勾股定理可知：
弦长的最小值.
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】过三角形的中心作平面的垂线，
过三角形的中心作平面的垂线，
两垂线交于点，连接，
依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，
因为，
所以,
则,
即外接球半径为，
则该球的表面积为，
故选：C.
7．【正确答案】C
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，
因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，
又直线，所以直线恒过抛物线的焦点，
设点Ax1,y1,Bx2,y2，因为两点在抛物线上，
联立方程，两式相减可得，，
设的中点为，则，因为点在直线上，
解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆的半径，
因为，所以，
解得，则，则.
故选：C.
8．【正确答案】D
【详解】

由可得，即，
设，因为三点共线，则存在实数，使得，
将代入可得
，即，
由于不共线，则，解得，
即，，
同理，设，则，
因为三点共线，所以，即，
又由三角函数的诱导公式可得，
所以
故选：D.
9．【正确答案】ACD
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选：ACD．
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，设，由双曲线的定义可得，
即，
在中，由余弦定理可得，可得，
所以，故A正确；
对于B，当时，在上也成立，故B错误
对于C，因为为奇函数，所以，即，即的对称中心为，
因为为偶函数，所以，即，
又，即，
所以，所以，故的周期为8，
因为
所以，故C正确；
对于D，对取对数可得，
作差可得，
因为，所以，故D错误；
故选：AC.
11．【正确答案】ACD
【详解】由于，则关于对称，又，故是的最小值点，结合在区间上单调，因此和是相邻的对称中心和对称轴，故,则，
,故，
由于，故，故，
对于A，，当，则，
若函数在区间上单调，则，解得，则，A正确，
如图：作出函数的图象如下：
函数在上恰存在个极值点，则，故B错误，
令，则，故的图象与有四个交点，如图，
则关于对称，关于，故，则，故C正确，
如图，作出与的交点，可知：，
，，
则
结合，则，故
，
则
结合，则，故，
故，
则，
故，D正确，
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】由题意可得，
所以，
所以模长为，
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，
共有种情况.
恰好有2位同学选修音乐共有.
所以恰好有2位同学选修音乐的概率.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由题设，
当时，，此时在上，不合题意；
当，若，可得或，
若时，在上，，，则，不合题意，
若时，在上，，，则，不合题意，
若时，即，
在上，，则，
在上，，则，
显然在R上递增，满足题设，
综上，，当且仅当时等号成立，
所以目标式最大值为.
故
15．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
由题意可得：，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设所求的平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理可知：，
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理可知：，因为，所以，，，
因为，所以，，
由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，取得最小值，
并且，
所以的范围是.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得：，得，
又当时，，则，所以，即，
所以椭圆的方程为.
（2）设过三点的圆的圆心为，，又，
则，即，
又在椭圆上，故，代入上式化简得到：，①
同理，根据可以得到：，②
由①②可得：是方程的两个根，则，设直线：，联立方程：，整理得：，故，解得，所以，所以直线的方程为.
18．【正确答案】(1)1
(2)
【详解】（1）由题可知的定义域为0,+∞，
当时，，.
令，解得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，取极大值，也是最大值，故的最大值为.
（2）.
令，则.
当时，，在0,+∞上单调递减，
当时，；，根据零点存在定理，得在0,2内存在唯一的零点，
在上，gx>0，，单调递增；
在上，gx0，，单调递增；在，gx