2024-2025学年四川省成都市高三上册月考数学检测试卷（一）附解析

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三上册月考数学检测试卷（一）附解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z满足（1﹣i）z＝1，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知随机变量ξ～B（n，p），若E（ξ）＝2，D（ξ）＝1，则P（ξ＝2）＝（ ）
A．18B．14C．38D．12
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2，则抛物线方程为（ ）
A．y2=14xB．y2=12xC．y2＝2xD．y2＝4x
4．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=2，且(b→−a→)⊥b→，则|b→|=（ ）
A．1B．2C．3D．2
5．已知一个圆锥的体积为3π3，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）
A．2πB．3πC．−3πD．23π
6．已知a=53，b=3，c=3+lg322，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
7．已知函数f(x)=acs2x+1−a2sin2x(0＜a≤1)的图象关于直线x=π12对称，若方程f（x）＝m（m∈R）在[0，π4]上恰有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．[12，1)B．[22，1)C．[32，1)D．[22，32]
8．定义在R上的函数f（x）的图象关于点(12，12)对称，且满足f(x)=12f(5x)，f(0)=0，当0≤x1＜x2≤1时，都有f（x1）≤f（x2），则f(12024)=（ ）
A．1256B．1128C．164D．132
二、多选题
（多选）9．某社会机构统计了某市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数如表：
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为ŷ=0.14x﹣0.33，则（ ）
A．y与x正相关
B．m＝6
C．当x＝3时，残差为0.01
D．样本的相关系数r为负数
（多选）10．设x＞0，函数f(x)=lnx，g(x)=x+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．存在x＞0，使得f（x）＞x﹣1
B．函数f（x+1）图象与函数y＝ex﹣1的图象有且仅有一条公共的切线
C．函数g（x）图象上的点与原点距离的最小值为22
D．函数f（x）+g（x）的极小值点为x＝1
（多选）11．双曲线C：x2﹣y2＝4的左右焦点分别为F1、F2，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．P到两条渐近线的距离之和为2
B．当直线l运动时，始终有|QS|＝|TP|
C．在△PAB中，tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0
D．△PF1F2内切圆半径取值范围为（0，1）
三、填空题
12．设曲线y＝e2ax在（0，1）处的切线与直线x+2y+2＝0垂直，则a＝ ．
13．某一随机变量X的分布列如下表，且n﹣m＝0.2，则E（3X+2）＝ ．
14．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为 ．
四、解答题
15．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin2A＝sinB•csC+csB•sinC．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2c，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．
16．已知动点P（x，y）与定点F（1，0）的距离和P到定直线l：x＝2的距离的比是常数22，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）设点F'（﹣1，0），若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且FM∥F′N，|FM|+|F′N|=872，求直线FM的斜率．
17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求证：平面B1MC⊥平面AMC；
（2）求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值．
18．已知函数u（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1），v（x）＝2x2lnx．
（1）当a＝1时，判断u（x）的单调性；
（2）若函数f（x）＝u（x）+v（x）恰有两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：f（x）的所有零点之和大于3．
19．某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A、B两个套餐服务，顾客可自由选择A、B两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，如表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况．
经计算可得：y=16i=16 yi=205，i=16 tiyi=4004，i=16 ti2=91．
参考公式：b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−x2，â=y−b̂x．
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn；
（3）请根据下列定义，解决下列问题：
（i）定义：如果对于任意给定的正数σ，总存在正整数N0，使得当n＞N0时，|an﹣a|＜σ（a是一个确定的实数），则称数列{an}收敛于a．
（ii）运用：记（2）中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N+)．求Pn的最值，并证明数列Pn收敛．
答案与试题解析
一、单选题
1．若复数z满足（1﹣i）z＝1，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可．
解：由（1﹣i）z＝1，得z=11−i=1+i(1−i)(1+i)=12+12i，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为(12，12)，位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．已知随机变量ξ～B（n，p），若E（ξ）＝2，D（ξ）＝1，则P（ξ＝2）＝（ ）
A．18B．14C．38D．12
【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解n=4，p=12，进而根据二项分布的概率公式求解即可．
解：因为ξ～B（n，p），
所以E（ξ）＝np＝2，D（ξ）＝np（1﹣p）＝1，
解得n=4，p=12，
所以P(ξ=2)=C42×(12)2×(12)2=38．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式和方差公式，属于基础题．
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2，则抛物线方程为（ ）
A．y2=14xB．y2=12xC．y2＝2xD．y2＝4x
【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解．
解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点P（1，t）满足|PF|＝2，
则1+p2=2，
则p＝2，
则抛物线方程为y2＝4x．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
4．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=2，且(b→−a→)⊥b→，则|b→|=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【分析】根据向量模长公式及向量垂直的坐标表示列出方程，解方程可得解．
解：由|a→|=1，|a→+b→|=2，
可得a→2+b→2+2a→⋅b→=1+b→2+2a→⋅b→=4，①
又(b→−a→)⊥b→，则(b→−a→)⋅b→=b→2−a→⋅b→=0，
即b→2=a→⋅b→，②
联立①②，解得b→2=1，则|b→|=1．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积运算，属基础题．
5．已知一个圆锥的体积为3π3，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）
A．2πB．3πC．−3πD．23π
【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果．
解：设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：
则圆锥的体积V=13πr2ℎ=3π3，
所以r2h=3，即h=3r2，
又因为S侧=12⋅2πrl=2πr2，
即l＝2r，
所以ℎ=l2−r2=3r，则3r=3r2，
解得r＝1，
所以圆锥的表面积为S底+S侧＝πr2+2πr2＝3πr2＝3π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式和侧面积公式，属于基础题．
6．已知a=53，b=3，c=3+lg322，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【分析】根据a2＜b2得到a＜b，根据lg32＞lg33=12得到c=3+lg322＞74，由74＞3得到c＞b．
解：∵a2=259＜3=b2，
∴a＜b，
∵lg32＞lg33=12，
∴c=3+lg322＞74，
∵(74)2=4916＞3，
∴74＞3，
∴c＞3=b，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
7．已知函数f(x)=acs2x+1−a2sin2x(0＜a≤1)的图象关于直线x=π12对称，若方程f（x）＝m（m∈R）在[0，π4]上恰有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．[12，1)B．[22，1)C．[32，1)D．[22，32]
【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出a，即可得到函数解析式，再求出函数在[0，π4]上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意y＝f（x）与y＝m在[0，π4]上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围．
解：因为f(x)=acs2x+1−a2sin2x=sin(2x+φ)，tanφ=a1−a2，
又函数f（x）的图象关于直线x=π12对称，且0＜a≤1，
所以f(π12)=acsπ6+1−a2sinπ6=32a+121−a2=1，
解得a=32，
所以f(x)=32cs2x+12sin2x=sin(2x+π3)，
当x∈[0，π4]时，2x+π3∈[π3，5π6]，
令π3≤2x+π3≤π2，解得0≤x≤π12，且32≤sin(2x+π3)≤1
令π2≤2x+π3≤5π6，解得π12≤x≤π4，且12≤sin(2x+π3)≤1，
所以f（x）在[0，π12]上单调递增，在[π12，π4]上单调递减，且f(0)=32，f(π12)=1，f(π4)=12，
因为方程f（x）＝m在[0，π4]上恰有两个实数根，即y＝f（x）与y＝m在[0，π4]上恰有两个交点，
所以32≤m＜1，即m的取值范围是[32，1)．
故选：C．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
8．定义在R上的函数f（x）的图象关于点(12，12)对称，且满足f(x)=12f(5x)，f(0)=0，当0≤x1＜x2≤1时，都有f（x1）≤f（x2），则f(12024)=（ ）
A．1256B．1128C．164D．132
【分析】根据函数f（x）的图象关于点(12，12)对称，可得到f（x）+f（1﹣x）＝1，进而求得f（1）＝1，f(12)=12，反复利用f(x)=12f(5x)，适当赋值，再结合条件当0≤x1＜x2≤1时，都有f（x1）≤f（x2），即可求解．
解：因为函数f（x）的图象关于点(12，12)对称，
所以f（x）+f（1﹣x）＝1，
令x＝1，则f（1）+f（0）＝1，
又f（0）＝0，
所以f（1）＝1，
由f(x)=12f(5x)，
令x=15，则f(15)=12f(1)=12，
令x=125，则f(125)=12f(15)=14，
令x=1125，则f(1125)=12f(125)=18，
令x=1625，则f(1625)=12f(1125)=116，
令x=13125，则f(13125)=12f(1625)=132，
同理，令x=12，
由f（x）+f（1﹣x）＝1，
则f(12)+f(12)=1，
即f(12)=12，
由f(x)=12f(5x)，
令x=110，则f(110)=12f(12)=14，
令x=150，则f(150)=12f(110)=18，
令x=1250，则f(1250)=12f(150)=116，
令x=11250，则f(11250)=12f(1250)=132，
因为当0≤x1＜x2≤1时，都有f（x1）≤f（x2），
而0＜13125＜12024＜11250＜1，
则f(12024)≥f(13125)=132，
f(12024)≤f(11250)=132，
所以f(12024)=132．
故选：D．
【点评】本题考查了抽象函数的对称性及利用赋值法求抽象函数的值，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．某社会机构统计了某市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数如表：
根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为ŷ=0.14x﹣0.33，则（ ）
A．y与x正相关
B．m＝6
C．当x＝3时，残差为0.01
D．样本的相关系数r为负数
【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出m的值，可判断B选项；利用的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项．
解：对于A，因为回归直线的斜率为0.14，所以y与x正相关，故选项A正确；
对于B，由表格中的数据可得x=3+4+5+m4=3+m4，y=0.1+0.2+0.3+0.44=0.3，
所以样本中心点为(3+m4，0.3)，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程得0.14×(3+m4)−0.33=0.3，
解得m＝6，故选项B正确；
对于C，当x＝3时，ŷ=0.14×3−0.33=0.09，
所以当x＝3时，残差为0.1﹣0.09＝0.01，故选项C正确；
对于D，因为y与x正相关，所以样本的相关系数r为正数，故选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了相关系数和残差的定义，属于基础题．
（多选）10．设x＞0，函数f(x)=lnx，g(x)=x+2x，则下列说法正确的是（ ）
A．存在x＞0，使得f（x）＞x﹣1
B．函数f（x+1）图象与函数y＝ex﹣1的图象有且仅有一条公共的切线
C．函数g（x）图象上的点与原点距离的最小值为22
D．函数f（x）+g（x）的极小值点为x＝1
【分析】构造函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1），通过求导分析单调性可得选项A错误；根据两函数互为反函数，结合函数图象特征可得选项B正确；设g（x）图象上任意一点坐标，利用点到原点的距离公式结合基本不等式可得选项C错误；通过求导分析单调性可得选项D正确．
解：对于选项A：设h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），
可得ℎ′(x)=1x−1=1−xx，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝0，
即f（x）≤x﹣1恒成立，故选项A错误；
对于选项B：因为y＝f（x+1）＝ln（x+1），
所以x+1＝ey，
即x＝ey﹣1，
则函数y＝f（x+1）与函数y＝ex﹣1互为反函数，图象关于直线y＝x对称，
结合图象可得函数y＝f（x+1）与y＝ex﹣1的图象都过原点，直线y＝x为函数y＝f（x+1）与y＝ex﹣1唯一的公切线，故选项B正确；
对于选项C：设点P（x，y）为函数g（x）图象上任意一点，
此时OP=x2+y2=x2+(x+2x)2=2x2+4x2+4≥22x2⋅4x2+4=22+1，
当且仅当x=42时，等号成立，故选项C错误；
对于选项D：令F(x)=f(x)+(x)=lnx+x+2x(x＞0)，
可得F′(x)=1x+1−2x2=x2+x−2x2=(x+2)(x−1)x2，
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以x＝1是函数F（x）的极小值点，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力，属于中档题．
（多选）11．双曲线C：x2﹣y2＝4的左右焦点分别为F1、F2，左右顶点分别为A、B，若P是右支上一点（与B点不重合），如图，过点P的直线l与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．P到两条渐近线的距离之和为2
B．当直线l运动时，始终有|QS|＝|TP|
C．在△PAB中，tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0
D．△PF1F2内切圆半径取值范围为（0，1）
【分析】选项A，设出点P（xP，yP）然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；
选项B，设直线l：y＝kx+m，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可；
选项C，利用点P（xP，yP）坐标表示出tan∠PAB=yPxP+2，tan∠PBA=−yPxP−2，然后利用三角形内角的角度关系得到tan∠APB=−tan(∠PAB+∠PBA)=−tan∠PAB+tan∠PBA1−tan∠PAB⋅tan∠PBA，由选项可知，只需得到分母的值就可以得到正确答案；
选项D，利用等面积法求三角形内切圆半径的方法，然后化简求解即可．
解：由双曲线C：x2﹣y2＝4，得x24−y24=1，
故两条渐近线方程分别为y＝x与y＝﹣x，设点P（xP，yP），
由题可知xP＞0，yP≠0，
∴点P（xP，yP）到两个渐近线的距离分别为d1=|xP−yP|2，d2=|xP+yP|2，
由于xP2−yP2=4，得d1d2=|xP−yP|2|xP+yP|2=|xP2−yP2|2=2，
若d1+d2＝2，则d1，d2是方程x2﹣2x+2＝0的两个实数根，显然该方程无解，不符合题意，故A错误；
设点S（xS，yS），T（xT，yT），Q（xQ，yQ），P（xP，yP）
由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx+m，
联立y=kx+mx2−y2=4，得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣4＝0，
∴xP+xQ=2km1−k2，
联立y=kx+my=x，解得xT=m1−k，
联立y=kx+my=−x，解得xS=−m1+k，
得xT+xS=m1−k+m−1−k=2km1−k2，
∴xT+xS＝xP+xQ，即xS﹣xQ＝xP﹣xT，
由题可知，|QS|=1+k2|xS−xQ|，|TP|=1+k2|xP−xT|，
可得|QS|＝|TP|，故B正确；
不妨设P（xP，yP），xP＞2，yP＞0，
由题可知，A（﹣2，0），B（2，0），
则tan∠PAB=yPxP+2，tan∠PBA=−yPxP−2，
tan∠APB=−tan(∠PAB+∠PBA)=−tan∠PAB+tan∠PBA1−tan∠PAB⋅tan∠PBA，
tan∠PAB⋅tan∠PBA=yPxP+2×−yPxP−2=−yP2xP2−4，
由题可知，−yP2=4−xP2，
故tan∠PAB⋅tan∠PBA=−yP2xP2−4=−1，
∴tan∠APB=tan∠PAB+tan∠PBA1−tan∠PAB⋅tan∠PBA=−tan∠PAB+tan∠PBA2，
整理得tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB＝0，故C正确；
在焦点三角形PF1F2中，由等面积法可得r=2S△PF1F2|PF1|+|PF2|+|F1F2|，
由题意知|F1F2|=42，S△PF1F2=12|F1F2||yP|=22|yP|，
|PF1|=(xP+22)2+yP2，|PF2|=(xP−22)2+yP2，
则r=42|yP|(xP+22)2+yP2+(xP−22)2+yP2+42，
∵xP2−yP2=4，
∴r=42|yP|2xP+2+2xP−2+42=2|yP|xP+2，
∴r2=4yP2(xP+2)2=4xP2−16(xP+2)2=4⋅xP−2xP+2=4(1−4xP+2)，
∵xP＞2，∴xP+2＞4，则r2=4(1−4xP+2)∈(0，4)，可得r∈（0，2），故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
三、填空题
12．设曲线y＝e2ax在（0，1）处的切线与直线x+2y+2＝0垂直，则a＝ 1 ．
【分析】求得y＝e2ax的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得所求值．
解：y＝e2ax的导数为y′＝2ae2ax，
可得曲线y＝e2ax在（0，1）处的切线斜率为2a，
由切线与直线x+2y+2＝0垂直，可得2a•（−12）＝﹣1，
解得a＝1．
故1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．某一随机变量X的分布列如下表，且n﹣m＝0.2，则E（3X+2）＝ 8 ．
【分析】根据概率和为1列方程组求出n、m的值，再计算E（X）和E（3X+2）的值．
解：由题意知，n−m=0.20.1+m+0.2+n=1，
解得n＝0.45，m＝0.25，
所以E（X）＝0×0.1+1×0.25+2×0.2+3×0.45＝2，
所以E（3X+2）＝3E（X）+2＝3×2+2＝8．
故8．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．
14．已知平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，则该平面四边形ABCD面积的最大值为 26 ．
【分析】先根据余弦定理可得6csD﹣csB＝5，进而表示出四边形ABCD面积S＝sinB+6sinD，进而得到S2+52＝37﹣12cs（B+D），进而求解．
解：连接AC，由余弦定理得，
AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB＝AD2+DC2﹣2AD•DC•csD，
即12+22﹣2×1×2×csB＝42+32﹣2×4×3×csD，
即6csD﹣csB＝5，
又四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=12AB⋅BC⋅sinB+12AD⋅DC⋅sinD
=12×1×2sinB+12×4×3sinD=sinB+6sinD，
则S2+52＝（sinB+6sinD）2+（6csD﹣csB）2＝37+12（sinBsinD﹣csBcsD）
＝37﹣12cs（B+D），
即S2＝12﹣12cs（B+D）≤24，即S≤26，
当且仅当B+D＝π时，等号成立，
所以平面四边形ABCD面积的最大值为26．
故26．
【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．
四、解答题
15．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin2A＝sinB•csC+csB•sinC．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2c，△ABC的面积为23，求△ABC的周长．
【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得sin2A＝sinA，进而得到2A+A＝π，进而求解；
（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可．
解：（1）因为sin2A＝sinB•csC+csB•sinC＝sin（B+C）＝sinA，
在△ABC中，2A+A＝π，即A=π3；
（2）由（1）知，A=π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2c2×32=23，
即c＝2，所以b＝4，
又a2=b2+c2−2bccsA=16+4−2×4×2×12=12，即a=23，
所以△ABC的周长为a+b+c=23+4+2=6+23．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理，属于中档题．
16．已知动点P（x，y）与定点F（1，0）的距离和P到定直线l：x＝2的距离的比是常数22，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）设点F'（﹣1，0），若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且FM∥F′N，|FM|+|F′N|=872，求直线FM的斜率．
【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；
（2）设kFM＝kF′N＝k，可得直线F′N的方程，与椭圆方程联立，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解．
解：（1）由题意，(x−1)2+y2|x−2|=22，
整理化简得，x22+y2=1，
所以曲线C的标准方程为x22+y2=1．
（2）由题意，直线FM，F′N的斜率都存在，设kFM＝kF′N＝k，
则直线F′N的方程为y＝k（x+1），
分别延长NF′，MF交曲线C于点N′，M′，
设N（x1，y1），N′（x2，y2），
联立y=k(x+1)x22+y2=1，消去y整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
则x1+x2=−4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
根据对称性，可得|FM|＝|F′N′|，
则|FM|+|F′N|＝|NN′|=1+k2•(x1+x2)2−4x1x2
=1+k2⋅(−4k21+2k2)2−4×2k2−21+2k2=22(1+k2)1+2k2，
即22(1+k2)1+2k2=872，解得k=±3，
所以直线FM的斜率为±3．
【点评】本题主要考查轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求证：平面B1MC⊥平面AMC；
（2）求平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面B1MC、平面AMC的法向量，利用空间向量法证明即可；
（2）求出平面B1AC的法向量，利用空间向量法计算可得．
解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，2），
所以MC→=(0，1，−1)，AC→=(−1，1，0)，CB1→=(1，0，2)，
设平面B1MC的法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⊥MC→n→⊥CB1→，则n→⋅MC→=y−z=0n→⋅CB1→=x+2z=0，
取n→=(2，−1，−1)；
设平面AMC的法向量为m→=(a，b，c)，
则m→⊥MC→m→⊥AC→，则m→⋅MC→=b−c=0n→⋅AC→=−a+b=0，
取m→=(1，1，1)；
因为n→⋅m→=1×2+(−1)×1+(−1)×1=0，
即n→⊥m→，
所以平面B1MC⊥平面AMC；
（2）设平面B1AC的法向量为u→=(x0，y0，z0)，
则u→⊥AC→u→⊥CB1→，则u→⋅AC→=−x0+y0=0u→⋅CB1→=x0+2z0=0，
取u→=(2，2，−1)，
设平面MAC与平面B1AC的夹角为θ，则csθ=|m→⋅u→||m→|⋅|u→|=|2×1+2×1+1×(−1)|3×3=33，
所以平面MAC与平面B1AC的夹角的余弦值为33．
【点评】本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18．已知函数u（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1），v（x）＝2x2lnx．
（1）当a＝1时，判断u（x）的单调性；
（2）若函数f（x）＝u（x）+v（x）恰有两个极值点．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：f（x）的所有零点之和大于3．
【分析】（1）求导，由导函数的正负求解；
（2）（i）对函数f（x）进行求导，构造函数g(x)=1+2lnx−a+1x2，对a分类讨论，进而可解；
（ii）根据（i）中信息以及f（x）的单调性可得f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上各有一个零点，由根据f(x)=f(1x)可得函数的三个零点为1x0，x0，1，利用基本不等式进行求证即可．
解：（1）当a＝1时，u（x）＝2lnx﹣（x2﹣1），函数定义域为（0，+∞），
可得u′(x)=2x−2x=2(1+x)(1−x)x，
当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0，
所以u（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（2）（i）因为f（x）＝u（x）+v（x）＝2lnx﹣a（x2﹣1）+2x2lnx，函数定义域为（0，+∞），
可得f′(x)=2x−2ax+4xlnx+2x=2x(1+2lnx−a+1x2)，
设g(x)=1+2lnx−a+1x2，函数定义域为（0，+∞），
此时f′（x）＝2xg（x），
可得g′(x)=2x−2x3=2(x2−1)x3=2(x+1)(x−1)x3，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以当x＝1时，g（x）取得极小值，极小值g（1）＝2﹣a，
若a≤2，
此时g（x）≥g（1）＝2﹣a≥0，
所以f′（x）＝2xg（x）≥0，
则f（x）在（0，+∞）单调递增，
此时f（x）无极值点，不满足条件；
当a＞2，
此时f′（1）＝2g（1）＝2（2﹣a）＜0，
当x→+∞是，f′（x）→+∞，
所以f′（x）＝0在（1，+∞）有一个实数根x2，
设m（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），
当0＜x＜1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；
当x＞1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
所以m（x）≤m（1）＝0，
即lnx≤x﹣1，
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以a＞2，lna＜a﹣1，
所以f′(1a)=2a(1+2ln1a−a+a2)=2a(1−2lna−a+a2)＞2a[1−2(a−1)−a+a2]
=2a[a2−3a+3]=2a[(a−32)2+34]＞0，
此时f′（x）＝0在(1a，1)上有一个实数根x1，
则f（x）恰有两个极值点，符合题意，
故实数a的取值范围为（2，+∞）；
（ii）证明：由（i）知0＜x1＜1＜x2，且f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减，
因为f（1）＝0，f（x1）＞f（1）＝0，f（x2）＜f（1）＝0，
当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞是，f（x）→+∞，
所以f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上各有一个零点，
又f（1）＝0，
所以f（x）共有3个零点，
f(1x)=2ln1x−a(1x2−1)+2x2ln1x=(2+2x2)ln1x−a(1x2−1)=−[(2+2x2)lnx−a(x2−1)]x2=−1x2f(x)，
若f（x0）＝0，
此时f(1x0)=0，
所以f（x）的三个零点可以表示为1x0，x0，1，
此时1x0+x0+1≥21x0⋅x0+1=3，
因为x0≠1，
所以等号取不到，
所以1x0+x0+1＞3．
则f（x）的零点之和大于3．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力，属于难题．
19．某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A、B两个套餐服务，顾客可自由选择A、B两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，如表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况．
经计算可得：y=16i=16 yi=205，i=16 tiyi=4004，i=16 ti2=91．
参考公式：b̂=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−x2，â=y−b̂x．
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为Pn，求Pn；
（3）请根据下列定义，解决下列问题：
（i）定义：如果对于任意给定的正数σ，总存在正整数N0，使得当n＞N0时，|an﹣a|＜σ（a是一个确定的实数），则称数列{an}收敛于a．
（ii）运用：记（2）中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N+)．求Pn的最值，并证明数列Pn收敛．
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出â，b̂的值，进而得到经验回归方程；
（2）由题意可知n≥3时，Pn=23Pn−1+13Pn−2，其中P1=23，P2=79，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（3）分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．
（1）解：由题意，t=1+2+3+4+55=3，y=15(i=16 yi−90)=15(205×6−90)=228，
b̂=i=1n tiyi−nt⋅yi=1n ti2−nt2=4004−6×90−5×3×22891−62−5×32=4.4，
â=y−b̂t=228−4.4×3=214.8，
∴y关于t的经验回归方程为ŷ=4.4t+214.8．
（2）解：由题意，可知P1=23，P2=23×23+13=79，
当n≥3时，Pn=23Pn−1+13Pn−2，即Pn+13Pn−1=Pn−1+13Pn−2，
P2+13P1=79+13×23=1．
∴当n≥2时，数列{Pn+13Pn−1}为各项都为1的常数列，
即Pn+13Pn−1=1(n≥2)，
∴Pn−34=−13(Pn−1−34)，n≥2，又P1−34=23−34=−112，
∴数列(Pn−34}为首项为−112，公比为−13的等比数列，
∴Pn−34=−112×(−13)n−1，即Pn=34+14×(−13)n．
（3）证明：由第二问可知，Pn=34+14×(−13)n，
当n为奇数时，Pn=34−14×(13)n＜34，且Pn随n的增大而增大，
∴Pn的最小值为P1=23，
当n为偶数时，Pn=34+14×(13)n＞34，且Pn随n的增大而减小，
∴Pn的最大值为P2=79；
综上，Pn的最小值为23，最大值为79．
对于任意σ＞0，总存在正整数N0=1+[lg13(4σ)]，其中[x]表示不超过x的最大整数，
当N＞1+[lg13(4σ)]时，|Pn−34|=|14×(−13)n|=14×(13)n＜14×(13)lg13(4σ)=σ，
∴数列{Pn}收敛于34．
【点评】本题主要考查经验回归方程的求法，概率的求法，数列的应用，考查运算求解能力，属于难题．A大学
B大学
C大学
D大学
毕业生人数x（千人）
3
4
5
m
自主创业人数y（千人）
0.1
0.2
0.4
0.5
X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
A
B
D
C
D
A大学
B大学
C大学
D大学
毕业生人数x（千人）
3
4
5
m
自主创业人数y（千人）
0.1
0.2
0.4
0.5
X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90