四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了已知，则，设函数，则不等式的解集是，已知函数，，，，则，函数的部分图象可能是，已知函数等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若扇形的面积为､半径为1，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A. B. C. D.
5.设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8.设实数，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.在区间上单调递减
C.在区间上有3个极值点
D.将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称
10.已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ）
A. B. C. D.0
11.已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设为锐角，若，则的值为___________.
13.已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是___________.
14.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
四､解答题
15.已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值.
16.2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
（1）试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；
（2）现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：，其中.
17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
19.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若满足，求证：；
（3）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围.
川大附中高2022级高三上期10月考试试题
数学
第Ⅰ卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B
5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.【答案】ACD 10.【答案】AD 11.【答案】BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】
四､解答题
15.【详解】（1）
，
最小正周期，其增区间满足，
即，令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
16.【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.
由列联表中的数据，可得，
.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.
所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.
（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望
17.【详解】（1）∵平面平面，且平面平面
，且，平面，∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；
（2）取中点为，连接，
又∵，∴.则，
∵，∴，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设n=x，y，z为平面的一个法向量，
则由，得，令，则.
设与平面的夹角为，
则；
（3）假设在棱上存在点点，使得平面.
设，，
由（2）知，，，，则，，
，
由（2）知平面的一个法向量.
若平面，则，解得，又平面，
故在棱上存在点点，使得平面，此时.
18.【详解】（2）因为动点到定点的距离比到直线的距离少1，
所以动点到定点的距离与到直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，
其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
（2）如图，设，
由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，
设其方程为，显然，
联立方程组，整理得，
由韦达定理知，
由，可得，
可得，
即，整理得，将①式代入上式，可得，
此时，直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点.
19.【详解】（1）解：，
当时，在上单调递增，
当时，令，解得，
单调递减，单调递增，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由题意，则.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，即证，
令，
即
，
由均值不等式可得
（当且仅当，即时，等号成立）.所以函数在上单调递增.
由，可得，
即，所以，
又函数在上单调递减，所以，即得证.
（3）法一：，则，
令，
当时，，在上单调递增，且.
①当时，在上单调递增，
，符合题意，.
②当时，又在上单调递增，且
当趋近正无穷，趋近正无穷，，使得，
在上单调递减，在上单调递增，
而，所以不合题意.
综上：实数的取值范围为.
法二：，当时，恒成立，
当时，由得，即，
令，即，
则，
令，
则.
在上单调递增，，
即在上单调递增，而，所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得：
实数的取值范围为.
法三：，
当时，恒成立，
当时，由得，即，
设，又，
则由拉格朗日中值定理可知：令，
即
又，
在上单调递增，，
实数的取值范围为.年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3