四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1. 过点，且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直轴的直线，直接得出直线方程即可.
【详解】因为过点的直线倾斜角为，
即直线垂直于轴，所以直线方程为.
故选：A
2. 某市年深入实施创新驱动发展战略，新产业新产品增势良好．调研统计了家企业，得到了他们的科技创新月平均新增收益如下：（单位：百万元），则其百分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位数的计算方法求解即可；
【详解】因为，
所以从小到大排列取第个数为．
故选：C．
3. 已知空间向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量平行，可得向量存在倍数关系，设，根据坐标相等即可进行求解.
【详解】由，知，使得，
即，
所以，解得，所以．
故选：B
4. 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，然后根据双曲线和渐近线的相关性质确定双曲线的标准方程即可.
【详解】
因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，
又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，
可设所求双曲线，化为标准方程：，
则，解得，所求双曲线为．
故选：
5. 如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】点M在线段OA上，且，
又，
∵N为BC的中点，
.
故选：D.
6. 有一组数据：2，4，5，7，6，7，x，10，这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由平均数求出，再利用方差的定义求出方差.
【详解】依题意，，解得，
所以组数据的方差为.
故选：A
7. 抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求得抛物线方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求得结果.
【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，
所以抛物线的方程为，则焦点为，
又因为反射光线经过点及焦点，，
所以反射光线的方程为，
联立抛物线方程得，解得或，
所以反射光线与抛物线的交点为，
由两点间距离公式可得，
所以反射光线所在直线被抛物线截得弦长为.
故选：C.
8. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ）
A. QB. RC. SD. T
【答案】A
【解析】
【分析】连接点P和椭圆左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.
【详解】
设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，
因为，所以越小，越大，越大，
所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.
故选：A.
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9. 已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（ ）
A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
B. 当曲线表示双曲线时，的取值范围是
C. 当时，曲线表示两条直线
D. 存在，使得曲线为等轴双曲线
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由时，曲线的方程可知C正确.
【详解】对于A，当时，，
表示焦点在轴上的椭圆，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故选项正确；
对于，若曲线表示双曲线，则，解得或，
即实数的取值范围为，故选项B错误；
对于，当时，曲线，即，
即曲线表示两条直线，故选项C正确；
对于，若曲线为等轴双曲线，则，解集为，
不存在，使得曲线为等轴双曲线，故选项D错误．
故选：AC．
10. 设，是两个随机事件，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则，相互独立D. 若，相互独立，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若，相互独立，则，相互独立，利用进行求解.
【详解】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，则，事件互斥，
所以，B错误；
对于C，因为，，
所以，则，相互独立，C正确；
对于D，若，相互独立，则，相互独立，
且，，
所以，D错误．
故选：AC．
11. 在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，三棱锥体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得平面
D. 当时，有且仅有一个点，使得与所成角为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据选项逐个分析当x，y取不同值时相应的图形关系，再判断选项是否正确即可.
【详解】对于选项A，当时，，
如图所示，

根据平面向量基本定理，此时P在线段上，
由于在正方体中，平面，平面，
所以，选项A正确；
对于选项B，当时，，
如图所示，

由平面向量基本定理，此时P在线段上，
由图可知，三棱锥当以平面底面时为定值，
但因为顶点P在线段上运动，所以P到底面的高不确定，
故三棱锥的体积不是定值，选项B错误；
对于选项C，当时，如图所示，

此时，
由平面向量基本定理，取AB与中点M，N，则P在线段MN上运动，
由图可知，过B点且与平面平行的平面为平面，
平面，所以此时平面，
又P是MN与交点，即当且仅当P是MN中点时，有平面，
故选项C正确；
对于选项D，如图所示，

以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，则有，
又，
所以，
所以.
于是，，
所以的夹角为时有，
，
解得或，
即或都可以使得的夹角为，
选项D错误.
故选：AC.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
12. 已知抛物线，则其焦点到准线的距离为__________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】先将抛物线化成标准方程的形式，再根据的几何意义即得答案.
【详解】由 得 ，
所以抛物线的焦点到准线的距离.
故答案为：
13. 如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从到这部分电路畅通的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由并联和串联电路的性质先求出从到电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.
【详解】上半部分电路畅通的概率为：，
下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，畅通的概率为：．
故答案为：.
14. 已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案.
【详解】设为坐标原点，则，
从而.

设的左焦点为，连接，
由双曲线的定义，得.
在中，由余弦定理，得，
解得.
由，得，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
15. 已知抛物线，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45°的直线l交抛物线C于A，B两点，
（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；
（2）求．
【答案】（1）抛物线C的方程为．焦点坐标为．
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据焦点F到其准线的距离求出，即可求出抛物线C的方程及其焦点坐标.
（2）根据直线l过焦点F且倾斜角为45°，得出直线l的方程，让直线l与抛物线方程联立，消去y，设出A，B两点坐标，根据抛物线的定义即可求出.
【小问1详解】
由题意在抛物线中，焦点F到其准线的距离为2，
∴，
∴抛物线C的方程为，焦点坐标为．
【小问2详解】
由题意及（1）得
在抛物线中，过焦点F且倾斜角为45°的直线l的方程为，
∴联立方程组消去y可得，
设，，则，
∴根据抛物线的定义，．
16. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求：
（1）动点P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，或.
【解析】
【分析】（1）设动点，根据及斜率两点式列方程求轨迹；
（2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果.
【小问1详解】
设动点，
由题意，化简整理得，
故点P的轨迹C的方程是.
【小问2详解】
直线斜率不存在时不合题意，
斜率存在时，设直线与曲线C的交点为，
由，得，，
则，，
，整理得，解得或（舍）.
经检验，符合题意，直线l的方程为，即或.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点．
（1）求证：平面ADE；
（2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以，
由，知，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，平面，
所以平面．
【小问2详解】
平面，，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
故，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值．
18. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：．
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程；
设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为0时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，根据有无数个解可确定的取值.
【小问1详解】
（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即：，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
∴圆心到直线的距离，解得：，
∴直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
【小问2详解】
（2）由圆的方程知：圆心，半径；设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则：被圆截得的弦长为：；
∴：被圆截得的弦长为，解得：或；
∴或；
②当过的直线斜率为0时，直线斜率不存在，此时：与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为0时，
设：，则：，
即：，：，
∴圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；
∵直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
∴，即，∴，
又，，∴，∴，
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，解得：，即；
当时，整理可得：，
∵满足题意的直线，有无数对，∴，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为．
19. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（1）请用上述定义证明反比例函数的图象是双曲线；
（2）利用所学的知识，指出双曲线的焦点坐标与渐近线方程；
（3）我们知道，双曲线上的任意一点到与的距离之积是常数，即.探讨双曲线上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明；若没有，则说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）焦点：；准线：和
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的定义判定函数的图象是双曲线.
（2）根据双曲线的对称轴平分双曲线的渐近线求焦点坐标.
（3）采用类比的方法猜测结论，再结合点到直线的距离公式证明.
【小问1详解】
证明：观察图象可知若函数的图象是双曲线，则它一定是等轴双曲线，
且轴､轴是图象的渐近线，直线是双曲线的对称轴，
它与双曲线的两个交点是双曲线的两个顶点，实轴长.
两焦点坐标为.
设点在函数的图象上，则，即，
（i）当时，，
所以
.
（ii）当时，从而，同理，有.
因此，无论点在第一象限或者在第三象限，均有||（小于）.
综上，函数的图象是双曲线.
【小问2详解】
函数的图象是以为两焦点，实轴长的双曲线，两渐近线方程分别为和.
【小问3详解】
因为与是双曲线的两条渐近线，有.
类似地：双曲线上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.
证明：设是双曲线上任意一点，则有.
双曲线的渐近线方程为.
于是点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，结论成立.