高考数学核心考点专题训练专题21平面向量的数量积(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题21平面向量的数量积(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)//a
B. 向量a在向量b上的投影为102
C. a与a−b的夹角余弦值为255
D. 若c=(55,255)，则a⊥c
已知向量m=1,0，n=12,12，则下列说法正确的是( )
A. m=nB. m−n//n
C. m−n⊥nD. m与n的夹角为π3
在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心
已知|a|=6，b=(m,3)，且(b−a)⊥(2a+b)，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 62
已知向量a=(−1,1)，b=(m,2).若(a−b)⊥a，则向量2a+b与a+b的夹角的余弦值为( )
A. 7210B. 210C. 22D. 12
下列四个结论，正确的个数是( )
①在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
②若，则存在唯一实数λ使得a→=λb→；
③若，，则；
④在▵ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，且AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，则▵ABC为等边三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
在ΔABC中，以下命题中正确的个数是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，则动点P的轨迹必通过ΔABC的内心
②若13(OA+OB+OC)=OG，则点G是ΔABC的重心
③若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的垂心
④若AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论：

①OA⋅OD=−22；②OB+OH=−2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为22．
其中正确结论的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
设向量a,b,c,满足a=b=2,a⋅b=2,a−c⋅b−c=0,则c的最小值为
A. 3+12B. 3−12C. 3−1D. 3+1
在给出的下列命题中，不正确的是( )
A. 设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线
B. 若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)则ΔABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形
已知不共线向量OA,OB夹角为α,OA=1,OB=2,OP=1−tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0处取最小值，当0C，则sinA>sinB>sinC；
②若，则存在唯一实数λ使得a→=λb→；
③若，，则；
④在▵ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，且AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，则▵ABC为等边三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：①A>B>C，则a>b>c，由正弦定理得则sinA>sinB>sinC；故①正确，
②若b=0，a≠0，满足a//b，此时不存在实数λ，使得a→=λb→；故②错误，
③若b=0，a,c为不共线向量，满足a//b，，此时a,c不平行，故③错误，
④AB|AB|，AC|AC|分别是AB,AC方向的单位向量，向量AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的平分线上，
由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0知，AB=AC，，
由且AB|AB|．AC|AC|=12，可得∠CAB=60∘，
∴△ABC为等边三角形，故④正确，
故选B．
在ΔABC中，以下命题中正确的个数是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，则动点P的轨迹必通过ΔABC的内心
②若13(OA+OB+OC)=OG，则点G是ΔABC的重心
③若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的垂心
④若AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：①设D为BC中点，则AB+AC=2AD，∴AP=2λAD，即P点在中线AD上
可知P点轨迹必过ΔABC的重心，故①错误；
②因为13(OA+OB+OC)=OG，所以OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG，
化简得GA+GB+GC=0，故点G为三角形ABC的重心，故②正确；
③∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴OB⋅(OA−OC)=0；∴OB⋅CA=0；∴OB⊥AC，
同理由 OA⋅OB=OC⋅OA，得到OA⊥BC，∴点O是△ABC的三条高的交点，故③正确；
④设BC的中点是O，AC2−AB2=(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AO⋅BC=2AM⋅BC，
即(AO−AM)⋅BC=MO⋅BC=0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故④正确；
综上，正确个数为3．
故选C．
八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论：

①OA⋅OD=−22；②OB+OH=−2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为22．
其中正确结论的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】解：对①，OA,OD的夹角为135∘，所以OA⋅OD=|OA||OD|cs 135∘=−22，故①正确；
对②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB⋅OH=2，所以|OB+OH|=2，|−2OE|=2，
利用向量的加法法则，由图可发现OB+OH的方向与2OE方向相反，
所以OB+OH=−2OE，故②正确；
对③，设与AB同向的单位向量为e，由AH，AB的夹角为135∘，则AH在AB向量上的投影向量为|AH|cs 135∘·e，因为|AH|≠1，所以投影向量的模|AH|cs 135∘=22|AH|≠22，故③错误．
故选B．
设向量a,b,c,满足a=b=2,a⋅b=2,a−c⋅b−c=0,则c的最小值为
A. 3+12B. 3−12C. 3−1D. 3+1
【答案】C
【解析】解：由题意知，|a→|=|b→|=a→·b→=2，
而a→·b→=|a→||b→|csα，
故csα=12，α=π3，
可设a→=(2,0)，b→=(1,3)，c→=(x,y)，
那么由(a→−c→)·(b→−c→)=0，
代入x2−3x+2+y2−3y=0，
整理得(x−32)2+(y−32)2=1．
即c→的终点落在该圆上，
则|c→|的最小值为圆心(32,32)到原点的距离减去半径为322+322−1=3−1，
故选C．
在给出的下列命题中，不正确的是( )
A. 设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线
B. 若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)则ΔABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形
【答案】B
【解析】解：对于A，设O,A,B,C是同一平面上的四个点，
若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，
则OA−OC=mOB−OC，
∴CA=mCB，
∴点A,B,C必共线，故A正确；
对于B，当a=0或b=0时，结论不成立，故B错误；
对于C，若平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC，
则OA·OB−OC=0，即OA·CB=0，
∴OA⊥CB；
又AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴O在∠BAC的平分线所在直线上，
∴ΔABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，若平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，
则O是ΔABC的外心；
又OA+OB+OC=0，
则O又是ΔABC重心；
∴△ABC是等边三角形，故D正确．
故选B．
已知不共线向量OA,OB夹角为α,OA=1,OB=2,OP=1−tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0处取最小值，当0