高考数学核心考点专题训练专题22等差数列与等比数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题22等差数列与等比数列(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
在各项均为正数的等比数列an中，公比q∈0,1，若a3+a5=5,a2⋅a6=4，数列lg2an的前n项和为Sn，则当数列Snn的前n项和取最大值时，n的值为( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 17
已知数列{an}的前n项和为Sn，若1，an，Sn成等差数列，则数列{an+1(an+2−1)(an+1−1)}的前n项和Tn=( )
A. 1−12n−1B. 12(1−12n−1)C. 12−12n+1−1D. 1−12n+1−1
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−2a2=6，an，an+2，an+1为等差数列，则S2020=( )
A. 4+122020B. 4+122018C. 4−122020D. 4−122018
若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数fx满足fx+2=−fx且fx=ex，x∈0, 2，则fa1010+a10111+b1010b1011=( )
A. eB. e2C. e−1D. e9
在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5，a2a6=4，bn=lg2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则S11+S22+…+Snn取最大值时，n的值为( )
A. 8B. 8或9C. 9D. 17
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S1，2S2，3S3成等差数列，且a1a2=a3，若{(lg3an)2−λlg3an}是递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A. (−∞,−3)B. (−3,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1)
若数列an满足：n增大时，anan+1无限接近5−12，则称数列an是黄金数列．满足下列条件的数列an是黄金数列的是( )
A. a1=1，an+1=anan+1B. a1=1，a2=3，an+2an=an+12
C. a1=1，an+1=an+2D. a1=a2=1，an+2=an+an+1
已知数列an满足对1≤n≤3时，an=n，且对∀n∈N∗，有an+3+an+1=an+2+an，则数列n⋅an的前50项的和为( )
A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652
在数列an中且a2020=23,a2022=25,则a2023=( )
A. 72B. 27C. 13D. 3
已知数列{an}满足a1a2a3⋯an=2n2，且对任意n∈N∗都有1a1+1a2+1a3+⋯+1an0，前n项和为Sn，若a3=3，且对任意的k∈N ∗，均有a2k2=2a2k−1+1，a2k+1=2lg2a2k+1，则a1=_______；S20=_______．
在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1).若a3+a5=5，a2a6=4，bn=lg2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当S11+S22+…+Snn取最大值时n的值为________．
正项等比数列{an}满足a1+a3=54，且2a2，12a4，a3成等差数列，设bn=anan+1(n∈N∗)，则b1b2⋅⋯⋅bn取得最小值时的n值为_________．
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1−2an(n∈N∗).
(Ⅰ)证明：数列{an+1−an}是等比数列；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ)若数列{bn}满足4b1−14b2−1…4bn−1=(an+1)bn(n∈N∗)，证明{bn}是等差数列．
已知等差数列{an}的公差不为零，a4=1，且a4，a5，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，满足Sn=2bn−4(n∈N ∗).
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{cn}满足：c1=−12，cn+1=cn−anbn(n∈N∗)，求使得cn≥n−216成立的所有n值．
已知正项数列{an}满足a1=1，an−1−an=an−1an，n≥2，等比数列{bn}满足：a2=b1，b2−b3=a8．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设Tn=b1an+b2an−1+b3an−2+…+bna1，求Tn．
已知数列{an}，Sn是an的前n项的和，且满足Sn=2an−1(n∈N ∗)，数列{bn}是等差数列，b2+b6=a4，a5−b4=2b6．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn=(−1)n(Tn+bn+2)b3n+4bn+1bn+2，求cn的前n项的和Dn．
专题22 等差数列与等比数列
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
在各项均为正数的等比数列an中，公比q∈0,1，若a3+a5=5,a2⋅a6=4，数列lg2an的前n项和为Sn，则当数列Snn的前n项和取最大值时，n的值为( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 17
【答案】C
【解析】解：∵{an}是等比数列且a3+a5=5，a2a6=4，公比q∈(0,1)
∴a3+a5=5a3a5=4
解得：a3=4，a5=1
∴q=12，∴a1=16
则an=16⋅(12)n−1
∴bn=lg2an=lg2(16⋅12n−1)=lg225−n=5−n
则b1=4，
由bn+1−bn=5−(n+1)−(5−n)=−1．
∴数列{bn}是以4为首项，以−1为公差的等差数列．
则数列{bn}的前n项和
Sn=n(4+5−n)2=n(9−n)2
令cn=Snn=n(9−n)2n=9−n2
∵cn≥0时，n≤9
∴当n=8或9时，
S11+S22+⋯+S2n取最大值．
故选C．
已知数列{an}的前n项和为Sn，若1，an，Sn成等差数列，则数列{an+1(an+2−1)(an+1−1)}的前n项和Tn=( )
A. 1−12n−1B. 12(1−12n−1)C. 12−12n+1−1D. 1−12n+1−1
【答案】D
【解析】解：因为1，an，Sn成等差数列，
所以2an=Sn+1．
当n=1时，2a1=a1+1，所以a1=1；
当n≥2时，2an−1=Sn−1+1，
所以2an−2an−1=an，即an=2an−1，
所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以an=2n−1．
所以an+1(an+2−1)(an+1−1)=2n2n+1−12n−1=12n−1−12n+1−1．
则Tn=1−13+13−17+⋯+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1．故选D．
已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−2a2=6，an，an+2，an+1为等差数列，则S2020=( )
A. 4+122020B. 4+122018C. 4−122020D. 4−122018
【答案】D
【解析】解：由题意，2an+2=an+an+1，故an+2−an+1an+1−an=an+1+an2−an+1an+1−an=−12，且a2−a1=−9，
所以{an+1−an}是公比为−12，首项为−9的等比数列，
故an+1−an=−9×−12n−1，
则当n≥2时，an=an−an−1+an−1−an−2+...+a2−a1+a1=−9×−12n−2+−12n−3+...+−120+6
=−9×1−−12n−11−−12+6=6×−12n−1，
又a1=6也符合上式，
所以{an}是首项为6，公比为−12的等比数列，
故Sn=6×1−−12n1−−12=41−−12n，
故S2020=4−122018．
故选D．
若数列an为等差数列，bn为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，函数fx满足fx+2=−fx且fx=ex，x∈0, 2，则fa1010+a10111+b1010b1011=( )
A. eB. e2C. e−1D. e9
【答案】A
【解析】解：数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且满足：a1+a2020=27，b1⋅b2020=2，
所以f(a1010+a10111+b1010b1011)=f(a1+a20201+b1b2020)=f(271+2)=f(9)，
函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)且f(x)=ex，x∈[0,2]，
∴f(9)=−f(7)=f(5)=−f(3)=f(1)=e．
故选：A．
在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，若a3+a5=5，a2a6=4，bn=lg2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则S11+S22+…+Snn取最大值时，n的值为( )
A. 8B. 8或9C. 9D. 17
【答案】B
【解析】解：∵{an}是等比数列且a3+a5=5，a2a6=4，公比q∈(0,1)，
∴a3+a5=5a3a5=a2a6=4，解得：a3=4，a5=1，q=12，
∴a1=16，
因此an=16×(12)n−1，
∴bn=lg2an=lg216×12n−1=lg225−n=5−n，则b1=4，
由bn+1−bn=5−(n+1)−(5−n)=−1，
∴数列{bn}是以4为首项，以−1为公差的等差数列，
则数列{bn}的前n项和Sn=n(4+5−n)2=n(9−n)2，
令Cn=Snn=n(9−n)2n=9−n2，
∵Cn≥0时，n≤9，
∴当n=8或9时，S11+S22+…+Snn取最大值．
故选：B．
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S1，2S2，3S3成等差数列，且a1a2=a3，若{(lg3an)2−λlg3an}是递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A. (−∞,−3)B. (−3,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1)
【答案】B
【解析】由题意，得4S2=S1+3S3，化简得a2=3a3，所以公比q=13，
又a1a2=a3，得a1=13，所以an=(13)n，(lg3an)2−λlg3an=n2+λn.
因为{n2+λn}是递增数列，所以(n2+λn)−[(n−1)2+λ(n−1)]=2n+λ−1>0，n≥2，
所以λ>−2n+1，得λ>(−2n+1)max=−3，
故选B．
若数列an满足：n增大时，anan+1无限接近5−12，则称数列an是黄金数列．满足下列条件的数列an是黄金数列的是( )
A. a1=1，an+1=anan+1B. a1=1，a2=3，an+2an=an+12
C. a1=1，an+1=an+2D. a1=a2=1，an+2=an+an+1
【答案】D
【解析】对于A：1an+1=an+1an=1an+1⇒1an是等差数列，
故1an=1a1+n−1=n，所以an=1n，
所以anan+1=n+1n>1，
故an不是黄金数列；
对于B：因为a1=1，a2=3，an+2an=an+12，
所以an为等比数列，所以anan+1=13，故an不是黄金数列；
对于C：因为a1=1，an+1=an+2，所以an为等差数列，所以an=2n−1，
anan+1=2n−12n+1=1−22n+1，n无限最大时，anan+1无限接近1，
故an不是黄金数列；
对于D：an+2=an+an+1两边同除以an+1可得，an+2an+1=anan+1+1，
当n无限增大时，anan+1无限接近于t，则an+2an+1无限接近于1t，
所以1t=t+1⇒t=5−12，
故an是黄金数列．
故选D．
已知数列an满足对1≤n≤3时，an=n，且对∀n∈N∗，有an+3+an+1=an+2+an，则数列n⋅an的前50项的和为( )
A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652
【答案】B
【解析】解：由题得an+3+an+1=an+2+an=⋯=a3+a1=4，
所以an=4−an+2=4−(4−an+4)=an+4，
所以an是周期为4的数列，且a1=1，a2=2，a3=3，a4=2，
所以a1+2a2+3a3+4a4+5a5+⋯+50a50=a1+2a2+3a3+4a4+5a1+⋯+50a2
=1×(1+5+9+⋯+49)+2(2+6+⋯+50)+3(3+7+⋯+47)+2(4+8+⋯+48)
=13×502+2×13×522+3×12×502+2×12×522=2525．
故选B．
在数列an中且a2020=23,a2022=25,则a2023=( )
A. 72B. 27C. 13D. 3
【答案】C
【解析】解：由2an=1an−1+1an+1(n∈N∗,n⩾2)，
可知数列1an是等差数列，
则其公差d=12(1a2022−1a2020)=12，
因此1a2023=1a2022+d=52+12=3，
所以a2023=13．
故选C．
已知数列{an}满足a1a2a3⋯an=2n2，且对任意n∈N∗都有1a1+1a2+1a3+⋯+1an