新高考数学专题复习专题38数列中的通项公式专题练习(学生版+解析)

这是一份新高考数学专题复习专题38数列中的通项公式专题练习(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了题型选讲，由的递推关系求通项公式，新定义题型中通项公式的求法等内容，欢迎下载使用。

一、题型选讲
题型一 、由的关系求通项公式
例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.
求数列的通项公式；
例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：
（1）；
例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
题型二、由的递推关系求通项公式
例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
题型三、新定义题型中通项公式的求法
例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．
（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
二、达标训练
1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． 求和的通项公式；
3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；
5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式
6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；
7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
专题38 数列中的通项公式
一、题型选讲
题型一 、由的关系求通项公式
例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.
求数列的通项公式；
【解析】因为,,
所以,,
两式相减得,
整理得,
即,,所以为常数列,
所以,
所以
例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：
（1）；
【解析】设的公比为q.
因为成等差数列，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
因此.
由题意，.
所以，
，从而.
所以的公差.
所以.
例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；
【解析】当时，，整理得，，解得；
当时，①，可得②，
①－②得，即，
化简得，
因为，，所以，
从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；
题型二、由的递推关系求通项公式
例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据题中定义可得，
即，即，
等式两边同时除以，得，且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
因此，.
故选：B.
例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（2）（i）．
所以，数列的通项公式为．
题型三、新定义题型中通项公式的求法
例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．
（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
【解析】（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数n均成立．
若，则恒成立，故，而，
这与是等差数列矛盾．
所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）因为数列是“”数列，
所以，即．
因为，所以，则．
令，则，即．
解得，即，也即，
所以数列是公比为4的等比数列．
因为，所以．则
例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）
（2）设长度为q末项为的一个递增子列为.
由p因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，
又是的长度为p的递增子列，
所以.
所以·
（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.
先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.
假设2m排在2m−1之后.
设是数列的长度为m末项为2m−1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是中的项.
假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.
因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.
又中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.
与已知矛盾.
最后证明：2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.
假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.
综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….
经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.
所以
二、达标训练
1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解析】当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． 求和的通项公式；
【解析】当时，，
当时，
=
=，
所以．
所以，
于是，解得或（舍）
所以=．
3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【解析】证明：因为，
所以．
因为
所以
所以．
又，
所以是首项为，公比为2的等比数列，
所以．
4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；
【解析】对任意，有，①
当时，有，解得或.
当时，有.②
①-②并整理得.
而数列的各项均为正数，.
当时，，
此时成立；
当时，，此时，不成立，舍去.
，.
5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式
【解析】（1）设等差数列首项为，公差为．
由已知得，解得．
于是．
（2）当时，．
当时，，
当时上式也成立．
于是．
故．
6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；
【解析】由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得
，
解得．
从而．
所以，
由成等比数列得
．
解得．
所以．
8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；
【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．
因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．
由，得，则.
由，得，
当时，由，得，
整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.