高考数学真题专项练习 专题17 数列的概念与数列的通项公式（解析版）

专题17 数列的概念与数列的通项公式

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考点54 数列概念与由数列的前几项求通项公式

1．（2020全国Ⅱ理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是              （   ）

A．            B．            C．            D．

【答案】C

【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，．

对于选项A，

，不满足；

对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C

2．（2011天津）已知数列满足，

．

   （Ⅰ）求的值；

   （Ⅱ）设，证明是等比数列；

   （Ⅲ）设为的前项和，证明

【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

当

当

（Ⅱ）证明：对任意

    ①

    ②

②-①，得

所以是等比数列．

（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意

由①得

因此，

于是，

故

考点55已知递推公式求通项公式

1．（2014新课标Ⅱ，文16）数列满足，则________．

【答案】

【解析】由得，=，∵，∴==，∴==-1，∴==2，∴==，∴==-1，∴==2，==．

2．（2013新课标Ⅰ，理14）若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______．

【答案】

【解析】当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．

3．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为          ．

【答案】

【解析】由题意得：

，所以．

4．（2016•新课标Ⅲ，文17）已知各项都为正数的数列满足，．

（1）求，；

（2）求的通项公式．

【解析】（1）根据题意，，

当时，有，

而，则有，解可得，

当时，有，

又由，解可得，

故，；

（2）根据题意，，

变形可得，

即有或，

又由数列各项都为正数，

则有，

故数列是首项为，公比为的等比数列，

则，

故．

考点56 数列的前项和与关系的应用

1．（2020江苏20）已知数列的首项，前项和为．设与是常数．若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．

（1）若等差数列是“”数列，求的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】见解析

【解析】（1）时，，∴．

（2），，

因此．

，．从而．

又，，，．

综上，．

（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，

则，

由，则，令，则，

时，，由可得，则，即，

此时唯一，不存在三个不同的数列；

时，令，则，则，

①时，则同理不存在三个不同的数列；

②时，，无解，则，同理不存在三个不同的数列；

③时，，则，同理不存在三个不同的数列；

④即时，，有两解，，设，，，则，则对任意，或或，此时，，均符合条件，

对应，，，

则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，．

2．（2018•新课标Ⅰ，理14）记为数列的前项和．若，则　　．

【答案】

【解析】为数列的前项和，，①，当时，，解得，

当时，，②，由①②可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，．

3．（2016•新课标Ⅲ，理17）已知数列的前项和，其中．

（1）证明是等比数列，并求其通项公式；

（2）若，求．

【解析】（1），．

．

当时，，

即，

，．．即，

即，，

是等比数列，公比，

当时，，

即，

．

（2）若，

则若，

即，

则，得．

4．（2014新课标Ⅰ，理17）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数．

(Ⅰ)证明：；

（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由．

【解析】(Ⅰ)由题设，，两式相减

，由于，所以            …………6分

（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知

假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；

证明时，{}为等差数列：由知

数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列

令则，∴

数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列

令则，∴

∴（），

因此，存在存在，使得{}为等差数列．                     ………12分

考点57数列性质

1．（2012福建）数列的通项公式，前项和为，则=___．

【答案】3018

【解析】因为的周期为4；由，∴，，…，∴

2.   （2011浙江）若数列中的最大项是第项，则=____________．

【答案】4

【解析】由题意得，得，因为，所以．

3．（2014湖南）已知数列{}满足

（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．

【解析】（I）因为是递增数列，所以．而，

因此又成等差数列，所以，因而，

解得

当时，，这与是递增数列矛盾．故．

（Ⅱ）由于是递增数列，因而，于是

     ①

但，所以

．        ②

又①，②知，，因此

      ③

因为是递减数列，同理可得，故

     ④

由③，④即知，，于是

，

故数列的通项公式为．