2022高考数学一轮复习专题38 数列中的通项公式（解析卷）

专题38   数列中的通项公式

一、题型选讲

题型一 、由的关系求通项公式

例1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.

求数列的通项公式；

【解析】因为,,

所以,,

两式相减得,

整理得,

即,,所以为常数列,

所以,

所以

例2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

（1）；

【解析】设的公比为q.

因为成等差数列，

所以，即.

因为，所以.

因为，所以.

因此.

由题意，.

所以，

，从而.

所以的公差.

所以.

例3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.求数列的通项公式；

【解析】当时，，整理得，，解得；

当时，①，可得②，

①－②得，即，

化简得，

因为，，所以，

从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；

题型二、由的递推关系求通项公式

例3、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

【解析】（1）由题设得，即．

又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．

由题设得，即．

又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，，．

所以，

．

例4、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题中定义可得，

即，即，

等式两边同时除以，得，且，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，

因此，.

故选：B.

例5、【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足其中．

（i）求数列的通项公式；

【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．

所以，的通项公式为的通项公式为．

（2）（i）．

所以，数列的通项公式为．

题型三、新定义题型中通项公式的求法

例6、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．

（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

【解析】（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，

也即，此式对一切正整数n均成立．

若，则恒成立，故，而，

这与是等差数列矛盾．

所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）

（2）因为数列是“”数列，

所以，即．

因为，所以，则．

令，则，即．

解得，即，也即，

所以数列是公比为4的等比数列．

因为，所以．则

例7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；

（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）

（2）设长度为q末项为的一个递增子列为.

由p<q，得.

因为的长度为p的递增子列末项的最小值为，

又是的长度为p的递增子列，

所以.

所以·

（3）由题设知，所有正奇数都是中的项.

先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.

假设2m排在2m−1之后.

设是数列的长度为m末项为2m−1的递增子列，则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.

再证明：所有正偶数都是中的项.

假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.

因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和不可能在的同一个递增子列中.

又中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以的长度为m+1且末项为2m+1的递增子列个数至多为.

与已知矛盾.

最后证明：2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.

假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于.与已知矛盾.

综上，数列只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….

经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.

所以

二、达标训练

1、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知数列满足：)若正整数使得成立，则（    ）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】B

【解析】当时，，即，且.

故，

，故.

故选：.

2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，． 求和的通项公式；

【解析】当时，，

当时，

=

=，

所以．

所以，

于是，解得或（舍）

所以=．

3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；

【解析】证明：因为，

所以．

因为

所以

所以．

又，

所以是首项为，公比为2的等比数列，

所以．

4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.求数列的通项公式；

【解析】对任意，有，①

当时，有，解得或.

当时，有.②

①-②并整理得.

而数列的各项均为正数，.

当时，，

此时成立；

当时，，此时，不成立，舍去.

，.

5、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列前项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的通项公式

【解析】（1）设等差数列首项为，公差为．

由已知得，解得．

于是．

（2）当时，．

  当时，，

当时上式也成立．

于是．

故．

6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；

【解析】由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，

当时，，也满足上式，所以；

7、【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

【解析】（1）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

所以，

由成等比数列得

．

解得．

所以．

8、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M—数列”.

（2）①因为，所以．

由，得，则.

由，得，

当时，由，得，

整理得．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.