专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc27994" 【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】 PAGEREF _Tc27994 \h 2
\l "_Tc11" 【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 PAGEREF _Tc11 \h 3
\l "_Tc22496" 【题型3 图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc22496 \h 5
\l "_Tc17882" 【题型4 函数的零点（方程的根）问题】 PAGEREF _Tc17882 \h 6
\l "_Tc27631" 【题型5 三角函数模型】 PAGEREF _Tc27631 \h 7
\l "_Tc30805" 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc30805 \h 9
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略】
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
【例1】（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，则gx=（ ）
A．sin2xB．−sin2xC．sin2x+π3D．cs2x+π6
【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）将函数fx=sin2x−π12的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数gx的图象，若函数gx在区间0,a3和4a,7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．π6,7π24B．π6,π2
C．7π24,π2D．π12,7π24
【变式1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数fx=cs2x−π6图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数gx 的图象，则（ ）
A．gx=cs2x−2π3B．gx在−π3,π3上单调递增
C．gx在0,π3上的最小值为32D．直线x=π4是gx图象的一条对称轴
【变式1-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于y轴对称，则fπ8=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）函数fx=Asinωx+φω>0,A>0,φ<π2在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．fx=2sin2x+3π4
B．fx=2sin2x−π4
C．fx的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．fx的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数
【变式2-1】（2024·重庆·三模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<π2的部分图像如图所示，若f(θ)=13，则f2θ+5π3=（ ）
A．−29B．29C．−79D．79
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=csωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，其中Aπ9,1，B5π18,0，则（ ）
A．ω=2B．φ=−π6
C．直线x=5π12是fx图象的一条对称轴D．11π18,0是fx图象的一个对称中心
【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数fx的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数gx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则函数fx的解析式为（ ）
A．fx=3sin4x+π2B．fx=3sin4x+π6
C．fx=3sinx+π6D．fx=3sinx+π2
【题型3 图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·重庆·三模）如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的图像与x轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，OB=3OC，OA=2,AD=2213，则下列说法正确的是（ ）

A．f(x)的最小正周期为12πB．f(x)的图象关于直线x=8对称
C．f(2)=f(−4)D．f(−x+2)为偶函数
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数gx的图象，则在下列区间上函数gx单调递增的是（ ）

A．π6,π3B．3π2,5π2C．5π6,7π6D．π,3π2
【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π的部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数fx的图象关于点π6,0成中心对称；
②函数fx的解析式可以为fx=2cs2x−2π3；
③函数fx在π12,13π24上的值域为0,2；
④若把fx图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12.
A．①③B．②③C．③④D．①④
【变式3-3】（2024·辽宁·三模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数fx的振幅是2，初相是π6
B．若函数fx的图象上的所有点向左平移π12后，对应函数为奇函数，则ω=2
C．若函数fx在π3,π2上单调递减，则ω的取值范围为2,103
D．若函数fx的图象关于7π12,0中心对称，则函数fx的最小正周期T的最小值为7π
【题型4 函数的零点（方程的根）问题】
【例4】（2024·山西晋城·二模）将函数f(x)=2sin3x+π4的图象向右平移φ（φ>0）个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0,φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是（ ）
A．5π12,3π4B．3π4,13π12C．5π12,3π4D．3π4,13π12
【变式4-1】（2024·山西长治·一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，若方程f(x)=m在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．[−2,−3]B．(−2,−3]C．(−2,−1]D．[−2,−1]
【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数fx=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数φx=x2+2x,x≤0gx,x>0在−∞,3π上有5个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．1718,2318B．1718,2318C．1118,1718D．1118,1718
【变式4-3】（2024·天津红桥·一模）将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数g(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的部分图象（如图所示）．对于∀x1，x2∈[a,b]，且x1≠x2，若gx1=gx2，都有gx1+x2=32成立，则下列结论中不正确的是（ ）

A．g(x)=sin2x+π3
B．f(x)=sin4x−π3
C．g(x)在π,3π2上单调递增
D．函数f(x)在0,4π3的零点为x1,x2,⋯,xn，则x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn=85π12
【题型5 三角函数模型】
【例5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．5532+65m
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移ycm与运动时间xs的关系式为y=sinωx+φω>0,φ∈−π,π，其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为0,−32，与直线y=12的相邻三个交点的横坐标依次为π6，7π18，5π6，则下列说法正确的是（ ）
A．ω=4
B．φ=−2π3
C．质点在1,32s内的位移图象为单调递减
D．质点在0,7π18s内走过的路程为3−3cm
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025年全球风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机，A和B分别为两个风力发电机叶片边缘一点，A和B到各自转轴中心距离均为20米，初始时刻A处于所在的发电机转轴中心正上方，B处于所在的发电机转轴中心正下方，且A和B围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同，A点转速为5πm/s，B点转速为8πm/s，以时间t（单位：秒）为自变量，A和B与各自发电机转轴中心高度差为应变量，分别得三角函数ft与gt，下列哪种方式可以使ft变为gt（ ）
A．将ft图象上所有点向右平移π个单位长度，再将横坐标扩大到原来的85倍
B．将ft图象上所有点向左平移π个单位长度，再将横坐标缩小到原来的58倍
C．将ft图象上所有点的横坐标扩大到原来的85倍，再向左平移52个单位长度
D．将ft图象上所有点的横坐标缩小到原来的58倍，再向右平移52个单位长度
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下，则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：分钟）之间的关系为d=4sin2t−π6+2．某时刻t0（单位：分钟）时，盛水筒W在过点O（O为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过π6分钟后，盛水筒W（ ）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好开始入水D．恰好开始出水
【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例6】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数fx=sin2x+π3+cs2x+π6−2sinxcsx.
(1)求函数fx的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y=fx的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=gx的图象，求y=gx在[0，2π]上的单调递减区间.
【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数fx=2sinxcsx−23sin2x+3.
(1)若x∈0,π4时，m(2)将函数fx的图象的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位，得到函数gx的图象.若x∈0,t，函数gx有且仅有4个零点，求实数t的取值范围.
【变式6-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2的图象可由函数y=3sinx的图象平移得到，且关于直线x=π3对称．
(1)求f7π12的值；
(2)求函数gx=f2x+π6+f2x−π6,x∈0,π的单调递增区间．
【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数f(x)=2sinωxcsφ+2sinφ−4sin2ωx2sinφω>0,φ<π，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数fx的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f0<0；②函数fx的图象的一个对称中心为π12,0且fπ6>0.
(1)求函数fx的解析式；
(2)将函数fx图象上所有点的横坐标变为原来的1tt>0倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，若函数y=gx在区间0,π3上恰有3个零点，求t的取值范围.
一、单选题
1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 y=sin2x+cs2x的图象，只要把 y=2cs2x的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 π8 个单位长度B．向左平行移动 π8 个单位长度
C．向右平行移动 π4 个单位长度D．向左平行移动 π4 个单位长度
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φ个单位后在区间0,π2上单调递增，则φ=（ ）
A．π3B．π2C．π6D．2π3
3．（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)的图象关于点5π6,0对称
C．函数f(x)在−π2,−π6单调递增
D．函数f(x)的图象向右平移π6后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数fx=22sinxcsx+π4，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数fx的最小正周期是2π
B．函数fx在区间π8,5π8上是减函数
C．函数fx的图象关于点−π8,0对称
D．函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向右平移π8个单位，再向下平移1个单位得到
5．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数fx的图象关于点π6,0成中心对称；
②函数fx的解析式可以为fx=2cs2x−2π3；
③函数fx在π12,13π24上的值域为0,2；
④若把fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向右平移π12个单位，则所得函数是y=2sin3x+π12
A．①③B．②③C．③④D．①④
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数fx=sinx的图象向左平移π6个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，可以得到函数gx的图象，若gx在π6,π2上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
A．0,53B．53,3C．0,3D．3,+∞
7．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点M3π4,32，其对应的方程为y=2−122xπsinωx（x≥0，1<ω<3），其中x为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为7π6，则点N的纵坐标为（ ）
A．±1B．±22C．±12D．±32
8．（2024·四川南充·模拟预测）将函数fx=sinωx−π6(0<ω<6)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数gx的图象，若0,πω是gx的一个单调递增区间，则（ ）
A．fx的最小正周期为πB．函数Fx=fx+gx的最大值为1
C．fx在π2,2π3上单调递减D．方程fx=−12在0,π上有5个实数根
二、多选题
9．（2024·新疆喀什·三模）已知函数fx=3sinxcsx−cs2x+12，则下列说法正确的是（ ）
A．fx=sin2x−π6
B．函数fx的最小正周期为2π
C．x=π3是函数fx图象的一条对称轴
D．函数fx的图象可由y=sin2x的图象向右平移π12个单位长度得到
10．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示，令gx=fx−cs2x，则下列说法正确的有（ ）．
A．gx的一个对称中心π6,0
B．gx的对称轴方程为x=k2π+π3k∈Z
C．gx在0,π2上的值域为−1,12
D．gx的单调递减区间为kπ−π6,kπ+π3k∈Z
11．（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当t=15时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则Ht=Asinωt+φ+b(A>0,ω>0,φ<π)，下列说法中正确的是（ ）
A．H关于t的函数Ht是偶函数
B．若在t1,t2t1≠t2时刻，游客甲距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧PQ的弧长l=50π3米
三、填空题
12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数fx=Asinωx+φA>0，ω>0，φ<π2的图象来描述，如图所示，则fx= ．
13．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为H=ft=Asinωt+φ+bA>0,ω>0,φ<π2,t≥0，则f2023= .
14．（2024·四川南充·模拟预测）将函数fx=sinωx−π6(0<ω<6)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数gx的图象，若0,πω是gx的一个单调递增区间，则方程fx=−12在0,π上实数根的个数为 .
四、解答题
15．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数fx=sin2x−π6.
(1)完善下面的表格并作出函数fx在0,π上的图象：
(2)将函数fx的图象向右平π3个单位后再向上平移1个单位得到gx的图象，解不等式gx≥12.
16．（2024·甘肃·一模）如图，角αα∈R的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为M,M到直线OP的距离为MN.若将MN关于角α的函数关系记为y=fx.

(1)求y=fx的解析式；
(2)将fx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数gx的图象，求gx在0,π2的单调递增区间.
17．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数fx=2csωx+φ ω>0,φ<π2的部分图象，且CD=π4，A−5π12,−2．
(1)求ω，φ的值；
(2)将fx的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移3π4个单位长度，得到函数gx的图象，讨论函数y=gx−a在区间−π,π2的零点个数．
18．（2024·北京东城·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.
(1)求ω的值；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数fx存在，并求函数fx在0,π2上的最大值和最小值.
条件①：函数fx+5π12是奇函数；
条件②：将函数fx的图象向右平移π12个单位长度后得到y=sinωx的图象；
条件③：f0=f2π3.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知∠OCB=∠COA=π2，OC=103米，BC=10米，区域OBC为三角形，区域OAB是以OA为半径的扇形，且∠AOD=π6．
(1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为促销展示区，求促销展示区的面积S的最大值．
考点要求
真题统计
考情分析
(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型
2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分
2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分
函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容，从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高.
2x−π6
−π6
0
π
11π6
x
5π6
fx
1