专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc27994" 【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】 PAGEREF _Tc27994 \h 2
\l "_Tc11" 【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 PAGEREF _Tc11 \h 3
\l "_Tc22496" 【题型3 图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc22496 \h 5
\l "_Tc17882" 【题型4 函数的零点（方程的根）问题】 PAGEREF _Tc17882 \h 6
\l "_Tc27631" 【题型5 三角函数模型】 PAGEREF _Tc27631 \h 7
\l "_Tc30805" 【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc30805 \h 9
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略】
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
【例1】（2024·河北保定·三模）将函数fx=sin2x−π3的图象向左平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，则gx=（ ）
A．sin2xB．−sin2xC．sin2x+π3D．cs2x+π6
【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）将函数fx=sin2x−π12的图象向左平移π8个单位长度后，得到函数gx的图象，若函数gx在区间0,a3和4a,7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．π6,7π24B．π6,π2
C．7π24,π2D．π12,7π24
【变式1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数fx=cs2x−π6图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，得到函数gx 的图象，则（ ）
A．gx=cs2x−2π3B．gx在−π3,π3上单调递增
C．gx在0,π3上的最小值为32D．直线x=π4是gx图象的一条对称轴
【变式1-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数f(x)=sin(4x+φ)|φ|0,A>0,φ0,ω>0,−π20,φ0,ω>0,|φ|≤π2的图像与x轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，OB=3OC，OA=2,AD=2213，则下列说法正确的是（ ）

A．f(x)的最小正周期为12πB．f(x)的图象关于直线x=8对称
C．f(2)=f(−4)D．f(−x+2)为偶函数
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0,ω>0,φ0,ω>0,φ0）个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0,φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是（ ）
A．5π12,3π4B．3π4,13π12C．5π12,3π4D．3π4,13π12
【变式4-1】（2024·山西长治·一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0)倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，若函数φx=x2+2x,x≤0gx,x>0在−∞,3π上有5个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．1718,2318B．1718,2318C．1118,1718D．1118,1718
【变式4-3】（2024·天津红桥·一模）将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3单位，得到函数g(x)=sin(2x+φ)00,0