专题5.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其应用（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.通过三角函数式的化简、求值或求角问题，结合拆角、凑角方法，综合考查和差倍半三角函数公式的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．应用三角恒等变换，首先化简三角函数式，进一步研究三角函数的图象和性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一
三角函数解析式
（1）的有关概念
（2）用五点法画一个周期内的简图
用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
知识点二
三角函数图象的变换
1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）
平移变换：左加右减，上加下减
把函数向左平移个单位，得到函数的图象;
把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】
把函数向上平移个单位，得到函数的图象;
把函数向下平移个单位，得到函数的图象.
伸缩变换:
把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;
把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;
把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;
把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.
2. 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.
知识点三
函数的图象与性质
（1）的递增区间是，递减区间是.
（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．
（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.
（4）的最小正周期都是.
常考题型剖析
题型一：求三角函数解析式
【典例分析】
例1-1.【多选题】（2023春·江西南昌·高一校联考阶段练习）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度．轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，入口处距离地平面时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点，下列结论正确的是（ ）

A．函数的最小正周期为12
B．时，过山车距离地平面
C．时，过山车距离地平面
D．一个周期内过山车距离地平面低于的时间是
【答案】ABD
【分析】设，根据图象结合五点法可求得，从而可判断A；计算可判断B；计算可判断C；由解得，从而可求解一个周期内过山车距离地平面低于的时间，进而可判断D.
【详解】设，
由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，
所以，又，即，得，因为，所以，所以．
对于A，， A正确；
对于B，， B正确；
对于C，， C错误；
对于D，由，得，即，,
解得，
所以一个周期内过山车距离底面低于的时间是， D正确.
故选：ABD．
例1-2.（2021·全国·统考高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.
例1-3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

【答案】
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
【规律方法】
1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ．
(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．
(2)ω：因为T＝eq \f(2π,ω)，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq \f(T,2)；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T．
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－eq \f(φ,ω)，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；
“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π．
在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．
(4)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－eq \f(φ,ω)，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．
2.利用图象变换求解析式：
由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.
【变式训练】
变式1-1.（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
变式1-2.【多选题】（2020·海南省高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
变式1-3.（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 .
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【点睛】已知f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
题型二：三角函数图象的变换
例2-1.（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
例2-2.（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
例2-3.（2020·江苏·统考高考真题）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】/
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【规律方法】
1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言的．
2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的eq \f(1,ω)倍，而不涉及φ．
3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|eq \f(φ,ω)|个单位长度，即x→x＋eq \f(φ,ω)，ωx→ωx＋φ．
4.函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．
【变式训练】
变式2-1.（2021·全国·统考高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
变式2-2.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公式求出，，得到最小正值.
【详解】，
故图象向右平移个单位长度得到，
又，
令，，解得，，
当时，取得最小正值，最小正值为.
故选：A
变式2-3.【多选题】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：CD.
题型三：三角函数模型的应用
【典例分析】
例3-1．（2023春·北京海淀·高一统考期末）海洋中的波动是海水的重要运动形式之一．在外力的作用下，海水质点离开其平衡位置做周期性或准周期性的运动，由于流体的连续性，必然带动其邻近质点，从而导致其运动状态在空间的传播．（节选自《海洋科学导论》冯士筰 李风岐 李少菁 主编高等教育出版社）某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在坚直方向上的运动情况，通过数据采集和分析，同学们发现海水质点在某一时间段相对于海平面的位移（米）与时间（秒）的关系近似满足，其中常数．经测定，在秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．在时，该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为（ ）
A．秒B．2秒C．秒D．3秒
【答案】C
【分析】由正弦函数的性质得出解析式，再由得出总时长.
【详解】解：因为秒时该质点第一次到达波峰，在秒时该质点第三次到达波峰．
所以，即，
当时，， ，
即，因为，所以.
则，
由得出或，.
即，或，
因为，所以.
因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为.
故选：C
例3-2.（2023春·北京东城·高一统考期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求出关于（单位：）的函数，然后结合正弦函数的单调性求解函数在上的增区间.
【详解】因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，
所以，，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
因为，
所以，，，.
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是，，，.
故选：B
例3-3.（2023春·江西上饶·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

(1)求函数的表达式；
(2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
(3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）
【答案】(1)
(2)20秒，5秒
(3)13.9
【分析】（1）求出，根据盛水筒运动的角速度写出秒后盛水筒转过的角度，从而得出函数的解析式；
（2）计算第一筒水到达最高位置时第一次取得最大值对应的值，以及相邻两个盛水筒倾倒的时间差；
（3）计算完成该稻田的浇灌需倾倒的筒数，再求所需时间即可．
【详解】（1）由已知可得，
∵盛水筒运动的角速度，
∴秒后盛水筒转过的角度为，
此时可得以为终边的角
∴
（2）当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），
相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），
（3）完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，
所需时间为秒，约为13.9小时.
所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.
【规律方法】
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式训练】
变式3-1.（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（ ）

A．、、
B．当时，点到轴距离的最大值是
C．当时，函数单调递减
D．当时，
【答案】C
【分析】A选项可由已知条件得到；BC选择根据函数的性质得到，D选项，先由函数得到点坐标，进而可得.
【详解】A选项：
有题意，，，
因从点出发，所以，
代入得，
得，因，所以，故A正确，
选项B：
由A得，，
当时，，
所以，
故点到轴距离的最大值是，B正确；
选项C：
因，
令，，
得，，
故当时，函数不是单调递减的，C错误；
选项D：
当，，
故，，故D正确，
故选：C
变式3-2.【多选题】（2023春·陕西安康·高一统考期末）凤凰古城，位于湖南省湘西土家族苗族自治州的西南部，始建于清康熙四十三年（1704年），是中国历史文化名城，国家AAAA级景区，与山西平遥古城媲美，享有“北平遥､南凤凰”的美誉.在其母亲河沱江上有一个水车，半径为4米（示意图如图所示），水车圆心距离水面2米，已知水车每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水车上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）

A．点P第一次到达最高点需要10秒
B．当水车转动35秒时，点P距离水面2米
C．当水车转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质求出解析式为，即可结合选项代入验证求解.
【详解】设点距离水面的高度（米）和时间（秒）的函数解析式为
由题意得解得
，故D正确；
对于A，令，即，即，解得，故A对；
对于B，令，代入，解得，故B错误；
对于C，令，代入，解得，故C对.
故选:ACD.
变式3-3.（2023春·云南昆明·高一统考期末）小乐所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图一），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM（图二）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁前曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系（图二），设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为.

(1)设图二中线段OH卷后形成的圆弧（图一）对应的圆心角为（rad），求与的关系式；
(2)求裁剪曲线的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，连接，然后利用弧长公式求解；
（2）连接OB，作于，于，连接，在圆中表示出，而是等腰直角三角形，从而可表示出的解析式
【详解】（1）如图，连接，圆的半径为3，
因为，所以.

（2）连接OB，作于，于，连接，
则∥且.
在圆中，，可得，
因为是等腰直角三角形，所以，
所以，
即.
题型四：三角函数图象与性质的综合应用
【典例分析】
例4-1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
例4-2.【多选题】（2023·山东潍坊·三模）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．函数的最大值为D．方程在上有5个实数根
【答案】ACD
【分析】根据函数平移规则得出解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出，即可得出和解析式，根据三角函数性质即可选出答案.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到，
所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，
又是的一个单调递增区间，所以，
即，，解得，，
因为，所以，故，
的最小正周期，故A正确；
令，，解得，，
即的递增区间为，，
所以在上单调递增，故B错误；
，
所以
，
所以函数的最大值为，故C正确；
当时，令，
则、、、、，
即方程在上有5个实数根，故D正确.
故选：ACD.
例4-3.（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是 .
【答案】①③④
【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可.
【详解】
对于①：因为，∴，故①正确；
对于②：，
令，，解得，，
所以单调递增区间为，，故②错误；
对于③：将图像向左平移个单位得到，
关于y轴对称，故③正确；
对于④：
，所以④正确；
故答案为：①③④．
例4-4.（2023·北京·统考高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
【总结提升】
1.此类问题一般分两步，第一步，应用三角恒等变换公式，将三角函数式化为正弦型三角函数；第二步，结合三角函数的图象，研究函数的性质.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时应将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
【变式训练】
变式4-1.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化简函数解析式可得，求出的范围，再由函数的值域可得，解不等式即可求解.
【详解】函数可化为
，
所以，
因为，所以，
因为在上的值域为，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
故选：B.
变式4-2.【多选题】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．若，则的值可以是
D．函数有4个零点
【答案】ABC
【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简，进而可画出其图象，结合图象根据选项即可求解.
【详解】依题意，
，
作出函数的大致图象如图所示，观察可知，A、B正确；
若，可以取，，故C正确；
当，当 ，
结合图象可知与有5个交点，故函数有5个零点，故D错误.
故选：ABC.
变式4-3.（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数的图象如图所示，且在的图象上，则的值为 ．

【答案】
【分析】根据图象可利用周期得，进而将代入，结合二倍角公式可得，即可求解.
【详解】其中，设周期为，
由图象可知：，解得,故，
由于在图象上，所以；
且，
由于，所以，故，
故可得，
由于，所以，进而可得，所以，
故答案为：
变式4-4.（2023·全国·高三对口高考）已知．若的最小正周期为．
(1)求的表达式和的递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)；的单调递增区间为．
(2)在区间上的最大值和最小值分别为1和．
【分析】（1）化简函数解析式，利用周期公式求，可得其函数解析式，再由正弦函数单调性求函数的递增区间；
（2）利用不等式性质及正弦函数性质求函数在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
因为的最小正周期为，，
所以，所以，
所以，
令，，可得，，
所以函数的单调递增区间为，
（2）因为，
所以，
所以，即，
所以当时，函数取最大值，最大值为，
当时，函数取最小值，最小值为.
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2.（2020·天津·统考高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
二、多选题
3.（2023春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）气候变化是人类面临的全球性问题，随着各国二氧化碳排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型，力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和目标，某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，，以下说法正确的是（ ）

A．
B．函数的最小正周期为
C．，
D．若是偶函数，则的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据图象的最大值和最小值求，再根据对称轴间的距离求周期和，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断.
【详解】根据题图可知得所以．
根据题图可知，，B错误．
，，，即．又，所以，所以，解得，A正确．
，，所以，C正确．
因为是偶函数，所以，，得，，所以当时，取最小值，为2，D正确．
故选：ACD．
4.（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
【答案】BC
【解析】
利用先伸缩再平移或是先平移再伸缩两种变换方法，判断选项.
【详解】
如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得
如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.
故选：BC
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
6．（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．函数在上单调递增
C．的最小值为
D．是的一条切线
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换可得，结合三角函数的性质分析判断A、B、C；对于D：求导，根据导数的几何意义分析运算.
【详解】因为，
对于A：不是最值，故A错误；
对于B：，则，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B正确；
对C：
，
当，即时，取到最小值，故C正确；
对于D：由，可得，
可知：，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
7．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则m的最大值为 .
【答案】
【分析】先化简函数，利用零点求出，根据单调递增求出的值.
【详解】因为，所以，
因为的零点是以为公差的等差数列，所以周期为，即，解得；
当时，，
因为在区间上单调递增，所以，解得.
所以m的最大值为.
故答案为：.
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二倍角以及辅助角公式化简可得，则有且只有一个解，即转化为有且只有一个解，根据x的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案.
【详解】由于，
所以有且只有一个解，即有且只有一个解，
因为，所以，
由题意知，解得，
即的取值范围是为，
故答案为：
四、解答题
9．（2023春·辽宁·高一校联考期末）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象．

(1)求的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若对任意，，恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据“五点法”结合图象求函数解析式；
（2）由图象的伸缩及平移变换得出函数解析式，利用余弦函数单调性求解；
（3）由题意转化为，分别求出函数的最值即可得解.
【详解】（1）由图象可知，，所以，
即，
又，所以，
因为，所以，
故，
由，可得，
所以.
（2）由，图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到，
令，，
解得，
即函数的单调递减区间为，.
（3）由可得，对任意，恒成立，
所以只需，
当时，，故，
当时，，故，
所以.
10．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得的最小正周期为．求：
(1)的单调递增区间；
(2)在区间上的取值范围及零点．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）选②，根据二倍角的正弦公式化简得，利用正弦型函数图像与性质求单调区间；
（2） 根据自变量范围求出的范围，利用正弦函数的图像性质求值域；
【详解】（1）选①：
，不满足的最小正周期为．
选③：，不满足的最小正周期为．
选②：，满足的最小正周期为．
令, 解得，
所以的单调递增区间为
（2）当时，，
所以，
所以.
且,所以零点是.
11.（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在.
(1)求函数的解析式；
(2)当，若函数恰有两个零点，求的取值范围.
条件①：；
条件②：的最小值为；
条件③：的图象的相邻两个对称中心之间的距离为.
【答案】(1)选择条件②③，
(2)
【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；
（2）根据的取值范围得到的取值范围，再求出函数在上的单调性，依题意的图象与直线在上有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）若选择条件①，
因为，所以，
由可得对恒成立，与矛盾，
所以选择条件②③.
由题意可得，
其中，，
因为的最小值为，所以，解得，
所以，设，则，
由的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，可得，
所以，解得，
所以.
（2）当时，，
令，解得，所以在上单调递增，
且，则，
令，解得，所以在上单调递减，
且，则，
因为函数恰有两个零点，所以与在上有两个交点，
所以，即实数的取值范围为.
12.（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）设.
(1)判断函数的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)非奇非偶函数，
(2)
【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；
（2）化简，结合，求得，结合正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得，
故
，令，,
由于不恒等于，也不等于，
故为非奇非偶函数，
其最小正周期为；
（2）由题意可得
，
因为，所以，故，
故的最大值为，
即函数在上的最大值为.
，
表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
－