2025高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
2．(2024·南昌模拟)方程2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1在区间[－2π，2π)上解的个数是( )
A．4 B．6
C．8 D．9
3．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)在[－π，π]上的大致图象如图所示，则f(x)的最小正周期为( )
A．eq \f(3π,2)B．eq \f(4π,3)
C．eq \f(5π,4)D．eq \f(7π,6)
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度后所得函数图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，则ω的最小值为( )
A．2B．3
C．4D．6
5．(多选)(20204新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
6．(多选)如图所示，点P是函数f(x)＝eq \f(π,2)sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，且eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，则( )
A．Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))B．ω＝1
C．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))D．φ＝eq \f(2π,3)
7．某地一天0～24时的气温y(单位：℃)与时间t(单位：h)的关系满足函数y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t－\f(2π,3)))＋20(t∈[0,24])，则这一天的最低气温是________℃．
8．已知函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x向左平移eq \f(π,4)个单位长度后，所得图象在区间(0，m)上单调递增，则m的最大值为________．
9．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))同时满足下列四个条件中的三个：①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象可以由y＝sin x－cs x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)；④最大值为2．
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围．
10．(多选)若将函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上的最大值为1
C．x＝eq \f(π,12)是函数g(x)图象的对称轴
D．g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减
11．已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 021π]内有________条对称轴．
12．已知函数f(x)＝10eq \r(3)sin eq \f(x,2)·cs eq \f(x,2)＋10cs2eq \f(x,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2．
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．
4.5-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【解析版】
1．将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到g(x)的图象，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
解析：D 由题意可得g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(7π,12)))，因此，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋\f(7π,12)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)．故选D．
2．(2024·南昌模拟)方程2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1在区间[－2π，2π)上解的个数是( )
A．4 B．6
C．8 D．9
解析：C 原方程化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，在同一坐标系内作出函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))x∈[－2π，2π)的图象与直线y＝eq \f(1,2)，如图．观察图象知：在x∈[－2π，2π)时函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象与直线y＝eq \f(1,2)有8个公共点，所以方程2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝1在区间[－2π，2π)上有8个解．故选C．
3．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)在[－π，π]上的大致图象如图所示，则f(x)的最小正周期为( )
A．eq \f(3π,2)B．eq \f(4π,3)
C．eq \f(5π,4)D．eq \f(7π,6)
解析：B 由题意，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,9)))＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,9)))＋\f(π,3)))＝0，可得－eq \f(2π,9)ω＋eq \f(π,3)＝2kπ，k∈Z，解得ω＝eq \f(3,2)－9k，k∈Z且ω＞0，又由π－eq \f(π,2)＜eq \f(1,2)×eq \f(2π,|ω|)＜eq \f(π,2)＋eq \f(2π,9)，即eq \f(π,2)＜eq \f(π,|ω|)＜eq \f(13π,18)，解得eq \f(18,13)＜ω＜2，当且仅当k＝0时，ω＝eq \f(3,2)满足题意，所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(4π,3)．故选B．
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度后所得函数图象与函数f(x)的图象关于x轴对称，则ω的最小值为( )
A．2B．3
C．4D．6
解析：C 由题意知eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,2)))T＝eq \f(2k＋1,2)·eq \f(2π,ω)，得ω＝8k＋4，k∈Z，又ω＞0，则ω的最小值为4．故选C．
5．(多选)(20204新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
解析：BC 由题图可知，函数的最小正周期T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))代入得，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝0，∴2×eq \f(π,6)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，故y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))．由于y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))，故选项B正确；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，选项C正确；对于选项A，当x＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝eq \f(\f(π,6)＋\f(2π,3),2)＝eq \f(5π,12)时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2×\f(5π,12)))＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))代入，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(π,6)＋φ))＝0，结合函数图象，知－2×eq \f(π,6)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(4π,3)))，但当x＝0时，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(4π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)<0，与图象不符合，舍去．综上，选B、C．
6．(多选)如图所示，点P是函数f(x)＝eq \f(π,2)sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，且eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，则( )
A．Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))B．ω＝1
C．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))D．φ＝eq \f(2π,3)
解析：BC 由题知P的纵坐标为eq \f(π,2)，又eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yP＝π，所以f(x)的周期T＝2π，所以eq \f(2π,ω)＝2π，ω＝1，，故B正确；所以xP＝xM＋eq \f(T,4)＝eq \f(π,3)，故C正确；xN＝xM＋eq \f(T,2)＝eq \f(5π,6)，故A错误；将Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))代入函数解析式可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，故D错误．故选B、C．
7．某地一天0～24时的气温y(单位：℃)与时间t(单位：h)的关系满足函数y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t－\f(2π,3)))＋20(t∈[0,24])，则这一天的最低气温是________℃．
解析：∵t∈[0,24]，∴eq \f(π,12)t－eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(4π,3)))，当eq \f(π,12)t－eq \f(2π,3)＝－eq \f(π,2)，即t＝2时，ymin＝－6＋20＝14．
答案：14
8．已知函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x向左平移eq \f(π,4)个单位长度后，所得图象在区间(0，m)上单调递增，则m的最大值为________．
解析：f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，向左平移eq \f(π,4)个单位长度，得g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)－\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,6)，所以mmax＝eq \f(π,6)．
答案：eq \f(π,6)
9．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))同时满足下列四个条件中的三个：①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1；②f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象可以由y＝sin x－cs x的图象平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)；④最大值为2．
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若曲线y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，求m的取值范围．
解：(1)三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为y＝sin x－cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，所以A＝eq \r(2)，ω＝1；
若满足③：因为eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，所以T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，所以ω＝2；
若满足④：A＝2；
由此可知，若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是①③④．
(2)由③④知：f(x)＝2sin(2x＋φ)，
由①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1，可得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z或eq \f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
所以φ＝2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z或φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
又因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,6)，所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
不妨令2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，
当k＝－1时，x＝－eq \f(π,6)；当k＝0时，x＝eq \f(π,3)；当k＝1时，x＝eq \f(5π,6)，
所以若要y＝f(x)的对称轴只有一条落在区间[0，m]上，只需m∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，
所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))．
10．(多选)若将函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))的图象向右平移eq \f(π,8)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．g(x)的最小正周期为π
B．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上的最大值为1
C．x＝eq \f(π,12)是函数g(x)图象的对称轴
D．g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减
解析：ABC 由题意可知g(x)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8)))＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，所以g(x)的最小正周期为π，A正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，g(x)的最大值为1，故B正确；当x＝eq \f(π,12)时，2x－eq \f(π,6)＝0，为函数g(x)图象的对称轴，故C正确；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，g(x)不单调，故D错误．故选A、B、C．
11．已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 021π]内有________条对称轴．
解析：f(x)＝4sin(ωx＋φ)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,2)))＝2sin(2ωx＋2φ)，由题图可知f(0)＝eq \r(3)，即sin 2φ＝eq \f(\r(3),2)，由于点(0，eq \r(3))在单调递增的区间内，故2φ＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝eq \f(π,6)；由图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，0))，则有eq \f(5π,6)ω＋eq \f(π,3)＝2π，解得ω＝2．故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,3)))，则令4x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,4)，k∈Z．令0≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,4)≤2 021π，即－eq \f(1,6)≤k≤8 084－eq \f(1,6)．所以f(x)在[0,2 021π]内有8 084条对称轴．
答案：eq \f(π,6) 8 084
12．已知函数f(x)＝10eq \r(3)sin eq \f(x,2)·cs eq \f(x,2)＋10cs2eq \f(x,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2．
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．
解：(1)因为f(x)＝10eq \r(3)sin eq \f(x,2)cs eq \f(x,2)＋10cs2eq \f(x,2)＝5eq \r(3)sin x＋5cs x＋5＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π．
(2)①将f(x)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13．
所以g(x)＝10sin x－8．
②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sin x0＞eq \f(4,5)．
由eq \f(4,5)＜eq \f(\r(3),2)知，存在0＜α0＜eq \f(π,3)，使得sin α0＝eq \f(4,5)．
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞eq \f(4,5)．
因为y＝sin x的最小正周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞eq \f(4,5)．
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞eq \f(π,3)＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞eq \f(4,5)．
故存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0．