专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

这是一份专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用），文件包含专题44三角函数的图象与性质举一反三新高考专用教师版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx、专题44三角函数的图象与性质举一反三新高考专用学生版2025年高考数学一轮复习专练新高考专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16109" 【题型1 三角函数图象的识别及应用】 PAGEREF _Tc16109 \h 3
\l "_Tc13318" 【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】 PAGEREF _Tc13318 \h 5
\l "_Tc19279" 【题型3 三角函数的奇偶性与对称性问题】 PAGEREF _Tc19279 \h 7
\l "_Tc8418" 【题型4 三角函数的周期性问题】 PAGEREF _Tc8418 \h 9
\l "_Tc4175" 【题型5 求三角函数的单调区间、比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 11
\l "_Tc27205" 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 PAGEREF _Tc27205 \h 13
\l "_Tc14750" 【题型7 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 PAGEREF _Tc14750 \h 16
\l "_Tc29205" 【题型8 三角函数的零点问题】 PAGEREF _Tc29205 \h 19
\l "_Tc23192" 【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc23192 \h 21
1、三角函数的图象与性质
【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcsx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcsx+b(sinx±csx)+c的三角函数，可先设t=sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acs(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题策略】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acs(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2024·全国·模拟预测）函数fx=csx⋅ln2x+2−x在区间−3π,3π上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据f0>0判断即可.
【解答过程】因为fx的定义域为R，且
f−x=cs−x⋅ln2−x+2x=csx⋅ln2−x+2x=fx，
所以fx为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A，C．
因为f0=ln2>0，故排除B．
故选：D．
【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=csx与y=lgx的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【解答过程】函数y=csx与y=lgx都是偶函数，其中cs2π=cs4π=1，lg4π>lg10=1>lg2π，
在同一坐标系中，作出函数y=csx与y=lgx的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D.
【变式1-2】（2024·山东·一模）函数fx=ex−1sinxex+1，则y=fx的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据函数奇偶性以及x∈0,π2时函数值的正负，通过排除法得答案.
【解答过程】函数y=fx的定义域为R，
f−x=e−x−1sin−xe−x+1=ex−1sinxex+1=fx，
即函数y=fx为偶函数，排除BD；
当x∈0,π2时，fx=ex−1sinxex+1>0，排除C.
故选：A.
【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数fx=ex+e−x，gx=sinx，下图可能是下列哪个函数的图像（ ）
A．fx+gx−2B．fx−gx+2
C．fx⋅gxD．gxfx
【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.
【解答过程】对于fx=ex+e−x，但定义域为R，满足f−x=e−x+ex=fx，为偶函数.
同理可得：gx=sinx为奇函数.
记ℎx=fx+gx−2，则ℎ−x=f−x+g−x−2=fx−gx−2
所以ℎ−x≠ℎx且ℎ−x≠−ℎx，所以fx+gx−2为非奇非偶函数；
同理可证：fx−gx+2为非奇非偶函数；fx⋅gx和gxfx为奇函数.
由图可知，图像对应函数为奇函数，且0e+1e×22>e×22>e2>1，故错误；
对D， y=gxfx=sinxex+e−x，为奇函数.
当x=1时， sin1e+1e0)在0,π2上的值域为−1,2，则ω的取值范围为（ ）
A．43,2B．43,83C．23,43D．23,83
【解题思路】根据题意可得ωx−π6∈−π6,π2ω−π6，再利用值域可限定π2≤π2ω−π6≤π+π6，解得ω的取值范围为43,83.
【解答过程】由x∈0,π2及ω>0可得ωx−π6∈−π6,π2ω−π6，
根据其值域为−1,2，且2sin−π6=−1，
由正弦函数图象性质可得π2≤π2ω−π6≤π+π6，
即可得23≤ω2≤86，解得43≤ω≤83.
故选：B.
【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数f(x)=2cs2ωx+sin2ωx−1(ω>0)的图象关于点π4,0对称，且f(x)在0,π3上没有最小值，则ω的值为（ ）
A．12B．32C．52D．72
【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得ω=2k−12,k∈Z，再结合最小值点即可求解.
【解答过程】f(x)=2cs2ωx+sin2ωx−1=cs2ωx+sin2ωx=2sin2ωx+π4，
因为fx的图象关于点π4,0对称，
所以fπ4=2sinωπ2+π4=0，
故ωπ2+π4=kπ,k∈Z，即ω=2k−12,k∈Z，
当2ωx+π4=−π2+2kπ，即x=−3π8ω+kπω,k∈Z时，函数fx取得最小值，
因为fx在0,π3上没有最小值，
所以5π8ω≥π3，即ω≤158，
由ω=2k−12≤158解得k≤1918，故k=1，得ω=32.
故选：B.
【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ