专题4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式 2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）（练）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）

第四章 三角函数与解三角形

专题4.2  同角三角函数的基本关系与诱导公式（练）

【夯实基础】

1.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由已知．

故选：B．

2.（2020·全国高考真题（理））已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

，得，

即，解得或（舍去），

又.
故选：A.

3．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.

【详解】

解：由题意知，，则，所以，

故选:C.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知则=（    ）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

【答案】C

【解析】

先用“奇变偶不变，符号看象限”将化简为，结合同角三角函数的基本关系来求解.

【详解】

因为，

所以===2.

故选：C

5.（2021·全国高一专题练习）已知则（    ）

A．2 B．-2 C． D．3

【答案】A

【解析】

用诱导公式化简，平方后求得，求值式切化弦后易得结论．

【详解】

即

，

故选：A．

6．（2021·河南高三其他模拟（理））若，则_______________________.

【答案】

【解析】

利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.

【详解】

因为，

所以.

故答案为：

7．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若，，则___________.

【答案】

【解析】

根据三角函数的诱导公式，求得，结合，进而求得的值.

【详解】

由三角函数的诱导公式，可得，即，

又因为，所以.

故答案为：.

8．（2021·上海格致中学高三三模）已知是第二象限角，且，_________.

【答案】

【解析】

根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.

【详解】

由是第二象限角，知，

则

故答案为：

9．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.

【答案】

【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.

10.（2017·全国高考真题（理））函数（）的最大值是__________．

【答案】1

【解析】

化简三角函数的解析式，则 ，由可得，当时，函数取得最大值1．

【提升能力】

1.（2019·山东高三期末（理））已知，，则（   ）

A．    B．    C．或    D．或

【答案】B

【解析】

由题意知， ，①

，即，

，为钝角，，

，

，

，②

由①②解得，

，故选B.

2.（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（   ）

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

【答案】B

【解析】

观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+

.

故选：B.

3．（2021·上海高三二模）若，则的值等于___________(用表示).

【答案】

【解析】

由同角三角函数的关系得,进而根据,结合齐次式求解即可.

【详解】

因为，所以，

所以，

故答案为:

4.（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为___________(用表示).

【答案】(亦可)

【解析】

由题知，再根据得，进而得.

【详解】

因为，为钝角，

所以，

又因为，

所以，即，

所以，

故答案为：

5．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则___________.

【答案】

【解析】

首先可得点的坐标，然后可得，然后可求出答案.

【详解】

由题可知点Q(4，2)，所以

所以

故答案为：

6．（2021·上海高三其他模拟）已知，，则cos(π﹣x)=___________.

【答案】

【解析】

根据 ，，求出 ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x).

【详解】

解：因为，，

可得cosx=﹣=﹣，

所以cos(π﹣x)=﹣cosx=.

故答案为：.

7.（2021·河北邯郸市·高三二模）当时，函数的最大值为______．

【答案】-4

【解析】

化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值.

【详解】

由题意得

所以，

当时，，

设

所以，

所以当时，函数取最大值.

所以的最大值为-4．

故答案为：

8．（2021·浙江高三其他模拟）已知，则______，______.

【答案】3       

【解析】

由可求，由和的正切公式求出，再建立齐次式即可求出.

【详解】

.

由，得，

故.

故答案为：3；

9．（2018·北京高考真题（理））设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

【答案】

【解析】

因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.

10．（2021·河南高一期中（文））已知．

（1）求的值；     （2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）本题可根据得出，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；

（2）本题可通过求出、的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.

【详解】

（1）因为，所以，

则.

（2）联立，解得，

则.

【拓展思维】

1．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x轴正半轴的交点为A，M，N在单位圆上且分别在第一､第二象限内，.若四边形的面积为，则___________；若三角形的面积为，则___________.

【答案】       

【解析】

根据四边形的面积，列出关于点纵坐标的方程，求出；即可根据三角函数的定义求出，进而可得；根据三角形的面积为，得到与之间关系，再结合三角函数的定义，得到，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.

【详解】

若四边形的面积为，

则，解得，

由三角函数的定义可得，因为M为第一象限内的点，所以为锐角，因此；

若三角形的面积为，

则，

即，

由三角函数的定义可得，，，

又，

所以，

由解得或，

又为锐角，所以.

故答案为：；.

2．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；

（2）计算的值．

【答案】（1）（2）1．

【解析】

（1）利用三角函数定义得到，，化简三角函数表达式代入即可得到结果；

（2）利用同角基本关系式化简即可.

【详解】

（1）由题意知，，．

原式

；

（2）原式．

3.（2020·江苏省通州高级中学高一月考）（1）已知，求的值；

（2）已知，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）运用诱导公式化简再代值即可；

（2）条件先平方，算出即可获解.

【详解】

（1）由题可知

原式

（2）,两边平方可得，解得

，又

，则

所以

4.（2020·永州市第四中学高一月考）已知.试用k表示的值.

【答案】详见解析

【解析】

，

,

当时，，此时，

当时，，此时.

5．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，两点，已知点A，的横坐标分别为，．

（1）求的值；

（2）化简并求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知条件可知求得，，已知式变形为，代入可得答案；

（2）由已知得， ，代入可得答案.

【详解】

解：（1）由已知条件可知：，又，所以，，，

，

（2），又，所以，从而；

.

6．（2021·全国高三专题练习（理））求函数()的值域．

【答案】

【解析】

令，所以，根据二次函数的性质可求得值域．

【详解】

令，所以，

所以当，即 ()时，

；当，即()时，，

因此函数的值域应为．

7．（2021·江苏高一月考）如图，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由三角函数的定义可得，，化简为．根据，利用余弦函数的定义域和值域求得的范围．

（2）根据，求得，再利用两角差的正弦余弦公式求出的值，从而得出结论．

【详解】

（1）由图知，，由三角函数的定义可得，，

．

角为锐角，，，

，即的范围是．

（2）因为，，

所以，

，

8．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知，求的值

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，然后再代值计算即可.
（2）利用同角三角函数间的关系，将平方求出的值，从而求出的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.

【详解】

(1)

所以

（2）由，则，所以

由，则

设，则

由，所以

9.（2020·山东诸城�高一期中）已知，且是第________象限角.

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求的值；

（2）化简求值：.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；

若选③，；

若选④，；

（2）原式.

10．（2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，.

(1)化简；

(2)若，求的值；

【答案】（1）

（2）

【解析】

第一问利用

第二问∵∴从而，从而得到三角函数值．

解：（1）

（2）∵

∴从而

又为第三象限角

∴

即的值为