广东省揭西县上砂中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份广东省揭西县上砂中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题，共18页。试卷主要包含了下列各数是无理数的是，下列说法正确的是，下列各组数是勾股数的是，若，则的值为，若，则的值是， = 　 　等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（每道3分，3x10=30分）
1．下列各数是无理数的是
A．B．3.1415926C．D．
3．下列说法正确的是
A．4的算术平方根是B．3的平方根是
C．27的立方根是D．的平方根是
4．下列各组数是勾股数的是
A．13，14，15B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41
．
6．若，则的值为
A．3B．7C．8D．9
7．若，则的值是
A．10 B． C．3 D．
8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是
B．C．D．
10．如图，已知矩形ABCD中，AB=3,AD=9,将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则AE的长为( )
A． B．4 C． D．
二．填空题（每道3分，3x6=30分）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12． = ．
13．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则的值是 ．
14．如图，每个小正方形的边长为1，、、是小正方形的顶点，则等于 度．
15．若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为 ．
16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 ．
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）；（5分）
．（5分）
18．一个正数的两个不同的平方根分别是与．
（1）求和的值；（4分）
（2）求的平方根．（4分）
19．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形．（8分）
20．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
当输入的值为16时，求输出的值；（3分）
是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．（2分）
输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 ．（3分）
21．根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
（1）根据规律填空：第5式 ；（2分）
（2）若，求的值；（6分）
为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，
求证：⊿BCD是直角三角形。（4分）
若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉
共需花费多少元？（4分）
23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
的小数部分是 ，的整数部分是 ；（2分）
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；（4分）
已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．（4分）
24．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．（四边形的面积等于C2 ）
请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．（3分）
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ．（3分）
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，
设，求的值．（5分）
八年级数学上学期第一次月考
范围：北师大版八上第1~2章：勾股定理+实数
一．选择题（共10小题）
1．下列各数是无理数的是
A．B．3.1415926C．D．
【答案】
【解析】．，是有理数，不符合题意；
．3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意；
．是无理数，符合题意；
．是分数，是有理数，不符合题意，
故选．
2．．
3．下列说法正确的是
A．4的算术平方根是B．3的平方根是
C．27的立方根是D．的平方根是
【答案】
【解析】、4的算术平方根是，故该选项错误；
、3的平方根是，故该选项错误；
、因为，，则27的立方根是3，该选项错误；
、，因为，则4的平方根为，故该选项正确；
故选．
4．下列各组数是勾股数的是
A．13，14，15B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41
【答案】
【解析】、，，14，15不是勾股数，不符合题意；
、，，5，6不是勾股数，不符合题意；
、，0.4，0.5都不是整数，，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意；
、，，40，41是勾股数，符合题意；
故选．
5．【答案】
【解析】，
，，，
，，，
，
故选．
6．若，则的值为
A．3B．7C．8D．9
【答案】
【解析】，
，
，
，
．
故选．
7．
【解析】，
，，，
，，，
，
故选．
8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意可知，，，
．
设的长为 ，则 ，
所以．
在直角△中，，即，
解得：，
即绳索的长是3.4米．
故选．
9．【答案】
10．【答案】
二．填空题（共6小题）
11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】依题意，得
，
解得：．
故答案为：．
12．6
13．【答案】．
【解析】一个正数的平方根分别是和，
，
．
故答案为：．
14．如图，每个小正方形的边长为1，、、是小正方形的顶点，则等于 45 度．
【答案】45．
【解析】连接，
由勾股定理得：，，，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
故答案为：45．
15．若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为 84 ．
【答案】84．
【解析】设两条直角边为，，
由题意，得：，，
，
，
该直角三角形的面积为；
故答案为：84．
16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 21 ．
【答案】21．
【解析】如图，
根据题意得：，，，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：21
三．解答题（共9小题）
17．计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式
．
18．一个正数的两个不同的平方根分别是与．
（1）求和的值；
（2）求的平方根．
【解析】（1）由题意可得，
解得，
；
（2）将，代入中，得．
的平方根是，
的平方根是．
19．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形．
【解析】证明：如图，连接CE．
∵BD＝CD，DE⊥BC，
∴CE＝BE．
∵DE⊥BC，
∴BD2+DE2＝BE2＝CE2．
∵EA2+AC2＝BD2+DE2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
20．如图，是一个数值转换器，原理如图所示．
（1）当输入的值为16时，求输出的值；
（2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由．
（3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 25或36或49或64 ．
【解析】（1），
，
则；
（2）存在，当或1时，始终输不出值，若输入负数，始终输不出值，
综上所述，或1或负数．
（3）答案不唯一．或或或．
故答案为：25或36或49或64．
21．根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：
第1式，第2式，第3式，
第4式．
（1）根据规律填空：第5式 ；
（2）若，求的值；
【解析】（1）第1式：，
第2式：，
第3式：，
第4式：，
所以，第5个式子为：，
故答案为：；
（2）由（1）可得：，
，
解得，．
22.为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
【解析】如图，过作于点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，，，
，
是直角三角形，且，
，
（元．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是 ，的整数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根．
【解析】（1），
，
的整数部分是4，小数部分是；
，
，
，
，
的整数部分是1；
故答案为：，1；
（2），
，
的整数部分是2，小数部分是，
，
，
，
的整数部分为6，
，
；
（3），
，
，
的整数部分是24，小数部分是，
，其中是整数，且，
，，
，
的平方根是，
的平方根是．
24．综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
（1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 ．
（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设边上的高为，则：
，
，
，
，
即边上的高是，
故答案为：；
（3）解：在中，由勾股定理得，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
．