2023年广东省揭阳市揭西县上沙中学等四校中考数学联考试卷（含解析）

2023年广东省揭阳市揭西县上沙中学等四校中考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  到年月日，我国个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团，累计接种新冠疫苗约亿剂次，请将亿用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

4.  二次函数图象的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，，中线与中位线相交于点，则四边形是(    )

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

7.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，等边的三个顶点都在上，是的直径，若，则劣弧的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，，依次类推，则点的坐标为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则三角形的周长为______．

13.  如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，轴，轴，则 ______ ．

14.  如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为______．

15.  如图，在边长为的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度结果取整数．
参考数据：，，．
 

18.  本小题分
如图，已知中，是的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接，．
求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．

20.  本小题分
在中国共产党成立周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩百分制绘制出以下两幅不完整的统计图请根据图中信息回答下列问题：

本次抽取调查的学生共有______ 人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为______ ．
等级中有名男生，名女生，从中随机抽取人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．

22.  本小题分
天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元件，市场调查发现，该商品每天的销售量件与销售价元件之间的函数关系如图所示．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求每天的销售利润元与销售价元件之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，为半圆的圆心，、为半圆上的两点，且连接并延长，与的延长线相交于点．
求证：；
与，分别交于点，．
若，如图，求证：；
若圆的半径为，，如图，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据乘积为的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
【解答】
解：的倒数是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，底层靠左侧是一个小正方形，上层是四个小正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数．即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为由抛物线顶点式可求得答案．
【解答】
解：，
顶点坐标为，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，
在中，点、分别是、的中点，
，且，
∽，
的面积：的面积：，
的面积：四边形的面积：，
的面积是，
四边形的面积是．
故选：．
由点、分别是、的中点，可得是的中位线，则，则∽，且相似比是：，则的面积和的面积比是：，则的面积：四边形的面积：，结合已知条件，可得结论．
本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：的中线与中位线相交于点，
是的中位线，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
故选：．
根据中线与中位线相交于点，证明四边形是平行四边形，再根据，即可解决问题．
此题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定以及三角形的中位线性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

为等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
半径，
劣弧的长为，
故选：．
连接、，由等边，可得，且，故是等边三角形，，又半径，根据弧长公式即可得劣弧的长．
本题考查等边三角形及圆的弧长，解题的关键是掌握弧长公式并能熟练应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，可以假设，则，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故选：．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：由已知可得：
第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，

如此循环，每旋转次，的对应点又回到轴正半轴，而，
在第四象限，且，示意图如下：

，，
，
故选：．
每旋转次，的对应点又回到轴正半轴，故A在第四象限，且，画出示意图，即可得到答案．
本题考查旋转变换，涉及等边三角形、的直角三角形等知识，解题的关键是确定所在的象限．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，，
而，所以，，不能组成三角形，
所以三角形第三边的长为，
所以三角形的周长为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，从而得到计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了三角形三边的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，设交轴于点，交轴于点，
正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，
点与点关于原点对称，
，
轴，轴，
，，
即，
故答案为：．
根据反比例函数的性质可判断点与点关于原点对称，则，由轴，轴可得，，再根据，即可得出三角形的面积．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、根据反比例函数的几何意义求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是矩形的对角线的中点，是的中点，
，
，，
，
是矩形的对角线的中点，
，
四边形的周长为，
故答案为：．
根据题意可知是的中位线，所以的长可求；根据勾股定理可求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长，进而求出四边形的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
如图，过点，点，点作，连接，，

点在上运动，
，
，，，
，
，
，
，，
垂直平分，
，
，，
，
，
在中，，
当点在上时，有最小值，
的最小值，
故答案为．
由“”可证≌，可得，可求，过点，点，点作，则点在上运动，利用锐角三角函数可求，的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

17.【答案】解：在中，，
则，
在中，，
，
，
，
解得，
答：这座灯塔的高度约为． 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．
 

18.【答案】证明：在中，点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，点是的中点，
即垂直平分，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】由题意可得≌，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；根据垂直平分线的性质可得，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论．
本题主要考查菱形的性质与判定，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线，证得≌是解题关键．
 

19.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
；
二次函数图象的对称轴为直线，
抛物线与轴两个交点关于直线对称，
由图可知抛物线与轴一个交点为，
另一个交点为，
一元二次方程的解为，． 

【解析】由即可列不等式得到答案；
根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点，即可得到答案．
本题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
 

20.【答案】解：本次抽取调查的学生共有的人数为：人，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为：，
故答案为：，；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，
恰好抽到一男一女的概率为． 

【解析】由等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；

连接，为直径，
，
又，
∽，
，
又，
，则，又，
在中，，即，
解得：，则，
，
解得：，，
，
∽，
，设，
，解得：，
经检验：是原方程的解，
故BC的长为． 

【解析】连接，由题意可证，且，即，则可证是的切线；
连接，证明∽，得到，根据，在中，利用勾股定理求出和，可得和，再证明∽，得到，设，解方程即可求出．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，作出辅助线，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

22.【答案】解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
根据题意知，


，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为，
答：每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
 

23.【答案】证明：如图中，连接．

，
，
是直径，
，
，，
，
．

证明：如图中，

，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．

解：如图中，连接交于设，则．

，
，
，
，，
在和中，则有，
，即，
，
是的中位线，
，
． 

【解析】如图中，连接想办法证明即可。
证明∽，可得结论。
连接交于设，则利用勾股定理构建方程求解即可。
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题。