北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷(无答案)

这是一份北京市北京师范大学附属中学2024—2025学年高三上学期10月考数学试卷(无答案)，共4页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
（3）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（4）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ）
（A）（B）（C）（D）
（5）欧拉公式（为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当时，被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，在复平面中位于（ ）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（6）已知函数那么不等式的解集为（ ）
（A）（B）（C）（D）
（7）设，，，则，，的大小关系是（ ）
（A）（B）（C）（D）
（8）若，则“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为（ ）
（A）16（B）15（C）14（D）13
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域是__________.
（12）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则__________.
（13）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____________.
（14）对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
若，根据这一发现，函数的对称中心是__________.
（15）已知函数给出下列四个结论：
①当时，的最小值为0；
②当时，存在最小值；
③当时，在上单调递增；
④的零点个数为，则函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
设函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）已知在区间上单调递增，，，求，的值.
（17）（本小题13分）
在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.
（18）（本小题14分）
某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
假设所有学生的获奖情况相互独立.
（Ⅰ）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若，证明：当时，.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（21）（本小题15分）
已知数列，，，，满足：，从中选取第项、第项、、第项，称数列，，，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如，0，1，其.
（Ⅰ）设数列，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求；
（Ⅱ）设数列，，，，，，，，，，，，判断，，的大小，并说明理由；
（Ⅲ）对于给定的正整数，，若数列，，，满足：，求的最小值.考
生
须
知
1.本试卷有三道大题，共6页。考试时长120分钟，满分150分。
2.考生务必将答案填写在答题纸（共8页）上，在试卷上作答无效。
3.考试结束后，考生应将答题纸交回。
2
3
7
11
13
0.301
0.477
0.845
1.041
1.114
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40