北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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班级：________姓名：________学号：________
考生须知
1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
3．考试结束后，考生应将答题卡交回.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数极值点为，且，则可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，点P是的中点，则（ ）
A. B. 4C. D. 6
8. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
9. 设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数，则复数z的模________．
12. 已知为等差数列，为其前n项和．若，，则________．
13. 在中，．则的值是________；的最大值是________．
14. 设函数
①当时，________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是________．
15. 已知函数，.给出下列四个结论：
①当时，函数有最小值；
②，使得函数区间上单调递增；
③，使得函数没有最小值；
④，使得方程有两个根且两根之和小于.
其中所有正确结论序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在中，，，平分交于点D，．
（1）求的值；
（2）求的长度；
（3）求的面积．
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间．
条件①：的最大值为2；
条件②：的图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
（1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
（2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
（3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明
19 已知椭圆过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.
20. 已知函数．
（1）若，求函数的零点：
（2）若，证明：函数是0,+∞上的减函数；
（3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值．
21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
年份
产量万台
销量万台