北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高三10月月考数学试卷（无答案）

北师大附属实验中学

2023—2024学年度第一学期高三数学月考试卷(2023.10.)

班级                姓名              

一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分，将正确答案的序号填在答题纸上)

1. 已知集合或, ,则集合

A.       B.

C.或     D.或

2. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是

    B.   C.   D.

3. 等比数列中, ,公比,则等于

A.15     B.-15    C.5      D. -5

4. 已知实数，，则下列不等式一定成立的是

A.             

5.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象

A. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

B. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

C. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

D. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

6. 若关于x的不等式 对于任意x>0恒成立，则a的取值范围是

 或       或

7. 函数的图象如图所示，且在与处取得极值，则下列说法正确的是

A.    B.

C.函数在区间上是增函数

D.过点的图象的切线有且只有1条

8. 已知数列满足 则集合 中元素的个数为

A.14     B.20     C.24     D.25

9. 已知平面直角坐标系中,角α的终边不在坐标轴上,则“”是“是第四象限角”的

A. 充分不必要条件      B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件       D. 既不充分也不必要条件

10. 已知 其中是常数，则

A. 存在实数，使得对任意实数，函数都有零点

B. 存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点

C. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点

D. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在答题纸上)

11. 函数 的定义域是                                 .

12. 函数在点 处的切线的斜率为                       .

13. 用反证法证明命题“对任意，都有 时，应首先“假设           ”，再推出矛盾，从而说明假设不能成立， 原命题为真命题.

14.定义在上的函数满足,且当 时,.若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是        ；这四个实数根的乘积为        .

15. 在数列中, 下列说法正确的是           .

①若,则一定是递增数列;

②若 则一定是递增数列；

③若, 则对任意,都存在,使得

④若,且存在常数，使得对任意，都有则的最大值是 .

三、解答题(本大题共 6小题，共 85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

16. 已知是第二象限内的角，

(Ⅰ)求 的值；

(Ⅱ)已知函数 求 的值.

17. 已知等差数列中, ,公差;等比数列中, ,是和的等差中项， 是和的等差中项.

(Ⅰ)求数列, 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 的前项和.

(Ⅲ)记 比较与的大小.

18. 已知函数 其中.

(Ⅰ)若,求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)当时,讨论函数的单调区间.

19. 已知椭圆 的一个焦点为，椭圆与y轴的一个交点的坐标为。

(Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点(点 A 在点 B左侧),点A关于轴的对称点为，求面积的最大值.

20. 已知函数 在处的切线方程为.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求证:恒成立.(参考数据:

21. 已知元正整数集合 满足： 且对任意, 都有

(Ⅰ)若,写出所有满足条件的集合；

(Ⅱ)若恰有个正约数, 求证:

(Ⅲ)求证: 对任意的 都有

答案

11. [-1,0)∪(0,3]

13.∃n∈N*,使得

14. (0,1); 16

15. ②③

16.(12分)

(Ⅰ)因为α是第二象限内的角， 所以

所以

所以.

17. (13分)

(Ⅰ) 依题意

⇒d²=2d⇒d≠0(舍)或

所以

所以

所以c₂>c₁;且当n≥2时,

18.(15分)

(Ⅰ) 解: 函数 的定义域为.

令f'(x)=0,得x=0,

当x变化时,f(x)和f'(x)的变化情况如下:

故f(x)的单调减区间为(-∞,-1),(-1,0); 单调增区间为(0,+∞).

当x=0时,函数f(x)有极小值

(Ⅱ)解: 因为 a>1,

所以ax²+4x+4=(x+2)²+(a-1)x²>0,

所以函数f(x)的定义域为R，

求导，得

令f'(x)=0,得

当 a=2时,x₂=x₁=0,

因为 (当且仅当x=0时, f'(x)=0)

所以函数f(x)在R单调递增.

当1<a<2时,x₂<x₁,

当x变化时, f(x)和f'(x)的变化情况如下:

故函数f(x)的单调减区间为 单调增区间为

当 a>2时,x₂>x₁,

当x变化时, f(x)和f'(x)的变化情况如下:

故函数f(x)的单调减区间为 单调增区间为(-∞,0),

综上(略).

19. (15分)

解:(Ⅰ)依题意有( 可得a²=6,b²=2.

故椭圆方程为

(Ⅱ)直线l的方程为y=k(x-3),显然k存在.

联立方程组

消去y并整理得(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0.(*)

设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂).

故

已知x₁<x₂,且显然x₁,x₂均小于3.

所以

等号成立时，可得 此时方程(*)为2x²-6x+3=0,满足△>0.

所以△MBC面积S的最大值为

20.(15分)

解： 已知函数 在x=0处的切线方程为y=-4x+3.

由

令 则 恒成立，

所以 在(-1,+∞)上单调递增.

又

所以 存在唯一的零点x₀, x₀∈(2,3),

且满足

当x变化时, f(x)和f'(x)的变化情况如下:

所以

将①带入上式，得

令t=x₀+1,并构造函数

则有

所以h(t)在(3,4)上单调递增.

所以

即 所以f(x)>0恒成立.

21.(15分)

解:(Ⅰ) {2,3}或{2,4}或{2,3,4}.(4分:正确答案2+1+1,错误答案每个-1)

(Ⅱ)证明: 由题,分别令i=N,j=1,2,…,N-1,

知

即 这Ⅳ-1个小于aN的数均为aN的正约数.

因为 aN的正约数的个数恰为N个(其中最大的是aN，最小的是 1)，

而

所以

(Ⅲ)证明: 由题

且

所以

最后一个不等式整理得 即

又j>i,所以j≥i+1,所以