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    北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

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    北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

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    这是一份北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷,共12页。试卷主要包含了解答题共6小题,共85分等内容,欢迎下载使用。
    本试卷共4页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    第一部分 (选择题,共40分)
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
    1.在长方体中,化简
    (A)(B)(C)(D)
    2.若向量,则
    (A)(B)4(C)(D)5
    3.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么
    (A)-2(B)-1(C)(D)2
    4.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的
    (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
    5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是
    (A)(B)(C)(D)
    6.如图,在四面体中,为BC的中点,为AD的中点,则可用向量表示为
    (A)(B)(C)(D)
    7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为
    (A)(B)(C)(D)
    8.已知,过点的直线与线段AB没有公共点,则直线斜率的取值范围是
    (A)或(B)(C)(D)或
    9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB上的点,且,点在线段上,则点到直线AD距离的最小值为
    (A)(D)1
    10.如图,在棱长为a的正方体中,为的中点,为上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是
    (A)点P到平面QEF的距离(B)直线PQ与平面PEF所成的角
    (C)三棱锥P-QEF的体积(D)二面角P-EF-Q的大小
    第二部分(非选择题,共110分)
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
    11.若是直线的一个方向向量,则直线的倾斜角大小为_____________.
    12.已知点三点共线,则实数的值为____________
    13.正三棱柱中,,则直线与平面所成角的正弦值为__________.
    14.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,M,N分别是AB,CD上的动点,则MN的最小值是____________.
    此时=____________.
    15.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF-DCE组合而成,为上的动点,给出下列四个结论:
    ①G为的中点时,平面平面BCG;
    ②存在点G,使得平面ADG ;
    ③有且仅有一个点G,使得三棱锥E-ACG体积是12;
    ④不存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60°其中所有正确结论的序号是____________.
    三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
    16.(13分)
    已知坐标平面内三点.
    (I)求直线AB的斜率和倾斜角;
    (II)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点在第一象限,求点的坐标.
    17.(14分)
    已知向量.
    (I)若,求实数的值;
    (II)求;
    (III)若不能构成空间向量的一个基底,求实数的值.
    18.(13分)
    如图所示,平面ABCD,底面ABCD边长为1的正方形,2,P是MC上一点,且.
    (I)建立适当的坐标系并求点坐标;
    (II)求证:.
    19.(15分)
    图1是边长为的正方形ABCD,将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥,且.
    (I)证明:平面平面ABC;
    (II)棱PA上是否存在一点,使得平面ABC与平面MBC的夹角的余弦值为,若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.
    20.(15分)
    如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,为棱PD的中点.
    (I)求证:PB//平面ACQ;
    (II)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,使四棱锥P-ABCD唯一确定,并求:
    (i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值;
    (ii)点P到平面ACQ的距离.
    条件①:二面角P-CD-A的大小为;
    条件②:;
    条件③:.
    21.(15分)
    在空间直角坐标系中,已知向量,点,若直线以为方向向量且经过点,则直线的标准式方程可表示为;若平面以为法向量且经过点,则平面的点法式方程表示为.
    (I)已知直线的标准式方程为,平面的点法式方程可表示为,求直线与平面所成角的正弦值;
    (II)已知平面的点法式方程可表示为,平面外一点,求点到平面的距离;
    (III)(i)若集合,记集合中所有点构成的几何体为,求几何体的体积;
    (ii)若集合,记集合中所有点构成的几何体为,求几何体相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.
    答案
    一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
    1.D2.A3.A4.B5.C
    6.D7.C8.C9.A10.B
    二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
    11.12.013.14.15.①②④
    注:14题第一空3分,第二空2分;15题选对1个给3分,选对两个给4分,有错误不给分.
    三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
    16.解:(I)直线AB的斜率=,…………………………………………………………..4分
    倾斜角为…………………………………………………………………………………………..6分
    (II)不妨设坐标原点为,
    当构成时,则,
    即D(-5,0),不在第一象限,舍;…………………………………………………………………………..8分
    当构成时,则,
    即D(1,-5),不在第一象限,舍;…………………………………………………………………………分
    当构成时,则,
    即,在第一象限,………………………………………………………………………………………12分
    综上,点的坐标为.………………………………………………………………………………13分
    17.解:(I)由得………………………………………………………3分
    解得x=-4.……………………………………………………………………………………………………4分
    (II)因为,
    ,…………………………………………………………………………7分
    所以,. ……………………………………………………………………………9分
    (III)若不能构成空间向量的一个基底,则向量共面,……………………………………10分
    则存在,使得,.…………………………………………………………………………11分
    所以,解得
    所以,实数的值为-6. ………………………………………………………………………………………14分
    18.解:(I)因为平面ABCD且平面ABCD,
    所以,,
    在正方形ABCD中,,
    所以两两垂直,……………………………………………………………………………….2分
    建立空间直角坐标系(图略),. ………………………………………………………………3分
    则,………………………………………………………………4分
    ,……………………………………………………………………………………………5分
    设,
    由,可得,
    解得,即.………………………………………………………………7分
    (II)因为,
    所以,,即,………………………………………………………………………11分
    所以,. ………………………………………………………………………………………13分
    19.解:(I)取AC的中点,连接OB,OP,
    在正方形ABCD中,,并且………………………………………………1分
    在中,,
    所以,,. ………………………………………………………………………………………2分
    因为平面PAC,
    所以,平面……………………………………………………………………………………4分
    而平面ABC,
    所以,平面平面ABC..………………………………………………………………………………6分
    (II)因为OB,OA,OP两两垂直,
    所以建立空间直角坐标系………………………………………………………………………7分
    则,………………………………………………………………8分
    因为平面ABC,
    所以平面ABC的法向量为……………………………………………………………………10分
    假设存在满足题意的点,且,则,
    设平面MBC的法向量为,
    则有
    不妨设,得,………………………………………………………………….12分
    所以, ……………………………………………………………….14分
    两边平方,整理得,
    解得或(舍),
    经检验,满足题意,因此,存在点,只需即可.……………………………15分
    20.解:(I)证明:连接BD,交AC于,连接OQ,
    在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,
    所以,是BD的中点,
    因为为棱PD的中点,
    所以,, ……………………………………………………………………………………2分
    因为面面ACQ,
    所以,平面ACQ. ………………………………………………………………………….4分
    (II)因为,所以,,
    选择①②:
    因为,且平面平面
    所以,是二面角的平面角,即,
    因为,
    所以,,故,
    因为平面PAD,
    所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直. …………………………………………………7分
    选①③:
    因为,且平面平面
    所以,是二面角的平面角,即,
    因为平面PAD,
    所以,平面PAD,
    因为平面PAD,所以,,
    因为平面PCD,
    所以,平面PCD,
    因为平面PCD,所以,,
    因为为PD中点,所以,,
    所以,,即,
    因为平面PAD,
    所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直.……………………………………………7分
    选②③:
    因为平面PAD,
    所以,平面PAD,
    因为平面PAD,所以,,
    因为平面PCD,
    所以平面PCD,
    因为平面PCD,所以,
    因为为PD中点,,
    所以,,即,
    因为平面PAD,
    所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直.………………………………………7分
    如图,建立空间直角坐标系,…………………………………………………8分
    则,
    ……………………………………………9分
    设为面ACQ的一个法向量,

    令,得,……………………………………………………………………11分
    (i)所以,,
    所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13分
    (ii)点到平面ACQ的距离为分
    21.解:(I)直线的方向向量为1分
    平面的法向量为,………………………………………………2分
    所以,,
    (II)平面的法向量为,………………………………………………………5分
    设点是平面上一点,则,
    不妨令,则,即点是平面上一点, ……………………6分
    点到平面的距离为.……………………………………………8分
    (III)(i)几何体为底面为边长为的正方形,高为2的长方体, ……………………………10分
    所以的体积为.………………………………………………………………12分
    (ii)考虑几何体关于原点中心对称,我们只考虑第一象限内的几何体,
    由确定,
    考虑平面和这两个面的法向量为……………………13分
    ,……………………………………………………………………………14分
    因为该二面角为针角,所以,二面角的大小为…………………………………………………………15分

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