北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷
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这是一份北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷,共12页。试卷主要包含了解答题共6小题,共85分等内容,欢迎下载使用。
本试卷共4页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题,共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.在长方体中,化简
(A)(B)(C)(D)
2.若向量,则
(A)(B)4(C)(D)5
3.已知经过两点的直线的一个方向向量为,那么
(A)-2(B)-1(C)(D)2
4.已知为平面的一个法向量,为一条直线,为直线的方向向量,则“”是“”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
5.如图所示,直线的斜率分别为,则下列结论正确的是
(A)(B)(C)(D)
6.如图,在四面体中,为BC的中点,为AD的中点,则可用向量表示为
(A)(B)(C)(D)
7.如图,在直三棱柱中,且,则与所成的角为
(A)(B)(C)(D)
8.已知,过点的直线与线段AB没有公共点,则直线斜率的取值范围是
(A)或(B)(C)(D)或
9.如图,在棱长为1的正方体中,为线段AB上的点,且,点在线段上,则点到直线AD距离的最小值为
(A)(D)1
10.如图,在棱长为a的正方体中,为的中点,为上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是
(A)点P到平面QEF的距离(B)直线PQ与平面PEF所成的角
(C)三棱锥P-QEF的体积(D)二面角P-EF-Q的大小
第二部分(非选择题,共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.若是直线的一个方向向量,则直线的倾斜角大小为_____________.
12.已知点三点共线,则实数的值为____________
13.正三棱柱中,,则直线与平面所成角的正弦值为__________.
14.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,M,N分别是AB,CD上的动点,则MN的最小值是____________.
此时=____________.
15.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF-DCE组合而成,为上的动点,给出下列四个结论:
①G为的中点时,平面平面BCG;
②存在点G,使得平面ADG ;
③有且仅有一个点G,使得三棱锥E-ACG体积是12;
④不存在点G,使得直线CF与平面BCG所成的角为60°其中所有正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
16.(13分)
已知坐标平面内三点.
(I)求直线AB的斜率和倾斜角;
(II)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点在第一象限,求点的坐标.
17.(14分)
已知向量.
(I)若,求实数的值;
(II)求;
(III)若不能构成空间向量的一个基底,求实数的值.
18.(13分)
如图所示,平面ABCD,底面ABCD边长为1的正方形,2,P是MC上一点,且.
(I)建立适当的坐标系并求点坐标;
(II)求证:.
19.(15分)
图1是边长为的正方形ABCD,将沿AC折起得到如图2所示的三棱锥,且.
(I)证明:平面平面ABC;
(II)棱PA上是否存在一点,使得平面ABC与平面MBC的夹角的余弦值为,若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.
20.(15分)
如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,为棱PD的中点.
(I)求证:PB//平面ACQ;
(II)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,使四棱锥P-ABCD唯一确定,并求:
(i)直线PC与平面ACQ所成角的正弦值;
(ii)点P到平面ACQ的距离.
条件①:二面角P-CD-A的大小为;
条件②:;
条件③:.
21.(15分)
在空间直角坐标系中,已知向量,点,若直线以为方向向量且经过点,则直线的标准式方程可表示为;若平面以为法向量且经过点,则平面的点法式方程表示为.
(I)已知直线的标准式方程为,平面的点法式方程可表示为,求直线与平面所成角的正弦值;
(II)已知平面的点法式方程可表示为,平面外一点,求点到平面的距离;
(III)(i)若集合,记集合中所有点构成的几何体为,求几何体的体积;
(ii)若集合,记集合中所有点构成的几何体为,求几何体相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.
答案
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.D2.A3.A4.B5.C
6.D7.C8.C9.A10.B
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.12.013.14.15.①②④
注:14题第一空3分,第二空2分;15题选对1个给3分,选对两个给4分,有错误不给分.
三、解答题共6小题,共85分。解答题应写出文字说明,验算步骤或证明过程。
16.解:(I)直线AB的斜率=,…………………………………………………………..4分
倾斜角为…………………………………………………………………………………………..6分
(II)不妨设坐标原点为,
当构成时,则,
即D(-5,0),不在第一象限,舍;…………………………………………………………………………..8分
当构成时,则,
即D(1,-5),不在第一象限,舍;…………………………………………………………………………分
当构成时,则,
即,在第一象限,………………………………………………………………………………………12分
综上,点的坐标为.………………………………………………………………………………13分
17.解:(I)由得………………………………………………………3分
解得x=-4.……………………………………………………………………………………………………4分
(II)因为,
,…………………………………………………………………………7分
所以,. ……………………………………………………………………………9分
(III)若不能构成空间向量的一个基底,则向量共面,……………………………………10分
则存在,使得,.…………………………………………………………………………11分
所以,解得
所以,实数的值为-6. ………………………………………………………………………………………14分
18.解:(I)因为平面ABCD且平面ABCD,
所以,,
在正方形ABCD中,,
所以两两垂直,……………………………………………………………………………….2分
建立空间直角坐标系(图略),. ………………………………………………………………3分
则,………………………………………………………………4分
,……………………………………………………………………………………………5分
设,
由,可得,
解得,即.………………………………………………………………7分
(II)因为,
所以,,即,………………………………………………………………………11分
所以,. ………………………………………………………………………………………13分
19.解:(I)取AC的中点,连接OB,OP,
在正方形ABCD中,,并且………………………………………………1分
在中,,
所以,,. ………………………………………………………………………………………2分
因为平面PAC,
所以,平面……………………………………………………………………………………4分
而平面ABC,
所以,平面平面ABC..………………………………………………………………………………6分
(II)因为OB,OA,OP两两垂直,
所以建立空间直角坐标系………………………………………………………………………7分
则,………………………………………………………………8分
因为平面ABC,
所以平面ABC的法向量为……………………………………………………………………10分
假设存在满足题意的点,且,则,
设平面MBC的法向量为,
则有
不妨设,得,………………………………………………………………….12分
所以, ……………………………………………………………….14分
两边平方,整理得,
解得或(舍),
经检验,满足题意,因此,存在点,只需即可.……………………………15分
20.解:(I)证明:连接BD,交AC于,连接OQ,
在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,
所以,是BD的中点,
因为为棱PD的中点,
所以,, ……………………………………………………………………………………2分
因为面面ACQ,
所以,平面ACQ. ………………………………………………………………………….4分
(II)因为,所以,,
选择①②:
因为,且平面平面
所以,是二面角的平面角,即,
因为,
所以,,故,
因为平面PAD,
所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直. …………………………………………………7分
选①③:
因为,且平面平面
所以,是二面角的平面角,即,
因为平面PAD,
所以,平面PAD,
因为平面PAD,所以,,
因为平面PCD,
所以,平面PCD,
因为平面PCD,所以,,
因为为PD中点,所以,,
所以,,即,
因为平面PAD,
所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直.……………………………………………7分
选②③:
因为平面PAD,
所以,平面PAD,
因为平面PAD,所以,,
因为平面PCD,
所以平面PCD,
因为平面PCD,所以,
因为为PD中点,,
所以,,即,
因为平面PAD,
所以,平面PAD,即证AB,AD,AP两两垂直.………………………………………7分
如图,建立空间直角坐标系,…………………………………………………8分
则,
……………………………………………9分
设为面ACQ的一个法向量,
则
令,得,……………………………………………………………………11分
(i)所以,,
所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为13分
(ii)点到平面ACQ的距离为分
21.解:(I)直线的方向向量为1分
平面的法向量为,………………………………………………2分
所以,,
(II)平面的法向量为,………………………………………………………5分
设点是平面上一点,则,
不妨令,则,即点是平面上一点, ……………………6分
点到平面的距离为.……………………………………………8分
(III)(i)几何体为底面为边长为的正方形,高为2的长方体, ……………………………10分
所以的体积为.………………………………………………………………12分
(ii)考虑几何体关于原点中心对称,我们只考虑第一象限内的几何体,
由确定,
考虑平面和这两个面的法向量为……………………13分
,……………………………………………………………………………14分
因为该二面角为针角,所以,二面角的大小为…………………………………………………………15分
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