北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市北京师范大学第二附属中学2025届高三上学期10月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则为第几象限角（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．若数列满足，且，则数列的前4项和等于（ ）
A．B．C．14D．15
5．下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列函数中，在区间上单调递增且存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
7．大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分。）
11．复数，则______．
12．曲线在点处的切线方程为______．
13．紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有70%后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
14．若函数 有零点，则的取值范围为______．
15．数列的前项和为，若数列与函数满足：
1）的定义域为；
2）数列与函数均单调递增；
3）使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．有下面四个结论：
①与具有“单调偶遇关系”
②与不具有“单调偶遇关系””
③与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个
④与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个
其中正确结论的序号为______．
三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）
16．（本小题13分）
已知函数（，）．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，，求函数的最小值与单调递减区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题13分）
设函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，判断的单调性．
18．（本小题14分）
如图，在三棱柱中，平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求：
①与平面所成角的正弦值；
②直线与平面的距离．
19．（本小题15分）
2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和．某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了20名学生进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立，用频率估计概率．
（Ⅰ）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（Ⅱ）从全校高中部和初中部所有学生中各随机抽取2名学生，求这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（Ⅲ）从样本中随机抽取1名男生和1名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式；用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式．直接写出方差和的大小关系．（结论不要求证明）
20．（本小题15分）
设函数，．曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：方程仅有一个实根；
（Ⅲ）对任意，有，求正数的取值范围．
21．（本小题15分）
对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（Ⅰ）写出集合和；
（Ⅱ）证明：对任意，存在，使得；
（Ⅲ）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．
2025届高三上数学10月月考参考答案
一、选择题：
【部分题详解】
8．解：，
①当时，其图象如图1
函数的图象与直线的公共点只有1个，不符合题意．
②当时，其图象如如图2
函数的图象与直线的公共点不少于两个时，，解得；
③当时，其图象如如图3，结合图象，不符合题意．
综上所述：实数的取值范围是：．
9．解：设等差数列的公差为，
由得：，，
，
，即，充分性成立；
由得：，，即，
，
即，必要性成立；
“”是“”的充分必要条件．
10．解：若，，使成立，即在上的值域要包含上的取值，当时，，，当时，，，当时，，不合题意，当时，单调递增，
则时，，符合题意，，易得在上小于0，上大于0，即在上单调递增，上单调递减，当时，有最小值，，由于，解得，所以，综上的范围是，
二、填空题：
11． 12． 13．45%； 14． 15．①④
【部分题详解】
13．解：（2）设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则，，，，安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：，故答案为．
14．解：当时，可得，故不是函数的零点；
当时，由函数有零点可得有解，
即，故的取值范围为函数，（）的值域，
，
令可得，故函数在上单调递减，上单调递减，上单调递增，
故当时，函数值，
当时，为函数的最小值，且，故，
综上可得的取值范围为或，
故的取值范围为：或．
故答案为：或．
15．解：对于①：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足①，
数列和均单调递增满足②，的前项和，
由得，解得，所以使成立，满足③，故①正确；
对于②：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足①，
数列和均单调递增满足②，的前项和，由得恒成立，所以使成立满足③，
故与具有“单调偶遇关系”，故②说法不正确；
对于③：以一次函数为例，，，，即，
整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；
对于④：中令．由得，取，即可保证恒成立，故选项④正确．故答案为：①④．
三、解答题：
16．解：（Ⅰ）．
选择条件①④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即．所以．因为，所以，即．所以．
选择条件③④：
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即．所以．
因为函数的最大值为1，所以，即．所以．
（Ⅱ）．
①因为，所以
当，即时，
②因为在上单调递减，
所以．所以．
所以函数在上的单调递减区间为．
17．解：（Ⅰ）由已知，的定义域为，，
当时，令，得，又，所以．
当时，；当时，．
因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值．
（Ⅱ）由已知，的定义域为，，
令，则在上递减，在上递增，
因此，有最小值．
①当时，，则，此时，函数在上单调递增；
②当时，令，可解得，或
此时，函数在和上单调递增；上单调递减．
18．（Ⅰ）证明：在三棱柱中，四边形为平行四边形．所以．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面，平面，所以，．
又，所以，，两两互相垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
设平面的法向量为，则，即
令，则，．于是
设直线与平面所成的角为，则
所以与平面所成角的正弦值为．
②因为平面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离
设到面的距离为，
（方法一）则．
（方法二）因为，，
所以，面，又，所以，面
则，即
所以，，．
19．解：（Ⅰ）由题意可知，参与调查的学生由200人，
其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有：人
设事件A：学生清楚垃圾分类后处理方式 则
（Ⅱ）从样本高中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：
从样本初中部学生中随机抽取1名学生，清楚垃圾分类后处理方式的概率为：
设事件B：这4名学生中恰有2人清楚垃圾分类后处理方式
则
（Ⅲ）
20．解：（Ⅰ）因为，所以，
又点在切线上，所以，所以，即．
（Ⅱ）证明：欲证方程仅有一个实根，只需证明仅有一个零点，
令，则，令，则，
讨论：（1）当时，，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，，即此时无零点；
（2）当时，，即此时有一个零点；
（3）当时，，
所以当时，，即此时无零点，综上所述，仅有一个零点，得证．
（Ⅲ）当时，，即恒成立，
令，则，
由（Ⅱ）可知，时，所以，
讨论：
（1）当时，因为，所以，即，
所以．即当时，，
所以在时单调递增，
所以恒成立，即满足条件，
（2）当时，由可知，，
又，所以存在，使得，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即不能保证恒成立，
综上可知，正数的取值范围是．
21．解：（I），．
（Ⅱ）对任意，设，
则均为非负整数，且．
令，则，所以，且．
（Ⅲ）对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为，设．
设集合．
对任意，都有，，…，，
且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，
所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．高中部
初中部
男生
女生
男生
女生
清楚
12
8
24
24
不清楚
28
32
38
34
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
B
D
A
C
B
C
A