重庆市开州区临江中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由集合的交集运算即可求解.
【详解】,
,
所以
故选：A
2. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ）
A. 或3B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得.
【详解】由函数是幂函数，得，解得或，
当时，是R上的偶函数，不符合题意，
当时，是上的奇函数，符合题意，
所以.
故选：D
3. 已知，，且，则的最小值是（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解.
【详解】方法一：因为，故，解得，
故,当且仅当 ，即，时等号成立.
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立.
故选：C.
4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
5. 已知定义在上的函数(为实数)为偶函数，记，，，则､､的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据为偶函数得到，求出函数的单调性后可得的大小关系.
【详解】因为为偶函数，
所以，
故，
即对任意的恒成立，
故，
所以，，
则，
当时，，
在上为增函数，
因为，
故，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数对数的大小比较，属于中档题.
6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件.
【详解】要在上单调递减，
则，解得，
在1,+∞为增函数，则，
解得，
因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件.
故选：A
7. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解.
【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法；
若人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为.
故选：C.
8. 已知函数，若函数有6个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】换元，结合的图象分析方程两根的分布情况，分类讨论可得.
【详解】由于函数有个零点，故方程有个根，
设，方程转化为，
当时，，
当时，f′x>0，当时，f′x<0，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当趋于时，趋于0，趋于0时，趋于，
所以函数的图象如图所示：

从图象可知，要使方程有个根，
则可转化为方程有两根且两根为以下情况：
①，，由得，验证不满足，因此这样的不存在；
②，，由得，验证满足成立，即；
③，，设，
由根的分布知，得.
综上：或.
故选：C
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 已知随机变量服从正态分布，若，则
B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则甲组数据的线性相关性更强
C. 用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D. 已知随机变量的分布列为，则
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求出可判断A；根据线性相关性的性质可判断B；利用二项分布的期望、方差求出可判断C；利用裂项相消求和、随机变量的概率和为1求出可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，故A错误；
对于B，因为0.66，则乙组数据的线性相关性更强，故B错误；
对于C，若，则，
解得，故C正确；
对于D，因为，
所以
，解得，故D正确.
故选：CD.
10. 已知，则下列描述正确的是 （ ）
A. B. 除以5所得余数是1
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合赋值法，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
【详解】对于A：令得：；令，得．
，因此A错误；
对于B：
，因此B正确
对于C：因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对求导，
得到，
令，得到，令，得
所以，
所以选项D错误．
故选：B
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D.
【详解】选项A：由题意可得，
令解得或，
因为，所以令解得或，令解得，
所以，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；
选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，
解得，故B正确；
选项C：当时，，
，
，所以点不是曲线的对称中心，C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得，令，，
所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，
，
令解得或，
因为，所以令解得或，
令解得，
则在，上单调递增，在上单调递减，且，，
图像如图所示，
所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线3条切线，故D正确；
故选：ABD
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果.
【详解】由得：，
又，，
，，
.
故答案为：.
13. 已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合函数是定义在0,+∞上的增函数得在上单调递增且gx>0在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解.
【详解】因为在上单调递增，
而函数是定义在0,+∞上的增函数，
所以在上单调递增，且gx>0在上恒成立，
所以，所以a的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】将不等式恒成立转化为在上恒成立,进一步转化为恒成立，即恒成立.再构造函数,利用导数求最值可解决.
【详解】易求得函数的定义域为 ，由，
得，
因为函数与函数互为反函数，
其图象关于直线对称，
所以要使得恒成立，
只需恒成立，即恒成立，
设，则，
在上递减，在递增，
可知当时，取得最小值，
所以，又因为，所以的取值范围是.
【点睛】本题考查了等价转化思想,不等式恒成立问题.属中档题.
四､解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，求在处切线方程
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合直线的点斜式即可得解；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性，从而得解.
【小问1详解】
当时，，则，
，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
因为，则，
由题意可得，解得，
故，则，
令，得或或；
令，得或；
此时，在处取得极大值，则满足题意，
所以函数的单调递增区间为，，，
单调递减区间为，.
16. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎．
（1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率．
（2）甲乙两人各自独立的参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和．
（i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列；
（ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求出所有可能性，然后根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（2）（i）根据题意，写出分布列即可；（ii）根据分布列计算数学期望，然后解不等式即可.
【小问1详解】
记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A．
则．
【小问2详解】
（i）由可知：X可取0，1，2．
列出分布列如下：
（ⅱ）由（ⅰ）可知，解得．
17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中．
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）
（2）
（3）；.
【解析】
【分析】（1）根据散点图，选择更适宜；
（2）令，拟合函数化为线性回归方程，由题中提供的公式以及数据，即可求解；
（3）（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.
【小问1详解】
根据散点图判断，
更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
【小问2详解】
令，，
由表可知：，
；
所以关于的回归方程为：
；
【小问3详解】
（i）由（2）知，当时，年销售量的预报值为，
年利润的预报值为.
（ii）根据（2）的结果知，年利润的预报值
，
当，即时，年利润的预报值最大，
故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.
18. 已知函数，．
（1）若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；
（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知，若方程在有解，求实数a取值范围．
【答案】（1），，
（2）
（3）[0，1）．
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一元二次不等式即可；
（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出的范围即可；
（3）利用参数分离法进行转化求解即可．
【小问1详解】
解：若不等式的解集为，，
即1，2是方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即得，得或，
即不等式的解集为，，．
【小问2详解】
解:不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
则，
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故（1）或，
而（1），，
故．
【小问3详解】
解：由得，
，即，
若方程在，有解，等价为有解，
设，
，，，，
即，即，则，
即实数的取值范围是，．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得；
（2）将不等式进行等价变形得到在上恒成立，接着通过构造函数，求其在上的最大值，其间，先分析推出其在时取得最大值，为，由，变形求对数，并利用同构思想和函数单调性推出，从而求得，即得的取值范围.
【小问1详解】
由已知可得函数，.
①当时， 当时，，时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
②当时，当时，，
或时，；
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增；
④当时，当时，，或时，；
则在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由题意，恒成立，因，即恒成立.
即需求在上的最大值.
令，，则，
令，，则，
即在0,+∞上单调递减，
又，所以在0,+∞上存在唯一的使gx0=0（*），
当x∈0,x0时，gx>0，即则φx在上单调递增；
当x∈x0,+∞时，gx<0，即则φx在上单调递减.
故φx在时取得最大值，为，
又由（*）可得，，故，
两边取对数得：，
令，由知ℎx在定义域内单调递增，
故由可得，，即，
所以，
故，即.
X
0
1
2
P
466
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8