重庆市开州区临江中学2023-2024学年高一上学期第二阶段性（12月期中）考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市开州区临江中学2023-2024学年高一上学期第二阶段性（12月期中）考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知幂函数的图象经过点，则， 荀子曰， 已知函数，若，则实数的值为， 已知，则， 我国著名数学家华罗庚曾说过， 下列命题中是真命题的是， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B. (-1，2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用并集运算直接求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解.
【详解】设幂函数，所以，解得，所以，
故.
故选:C.
3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”，
“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知函数，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式求得，继而可得，可得，即可求得答案.
【详解】由题意可得，故，
所以，
故选:A
5. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
6. 已知是定义在上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先可以求出的最大的单调递增区间为，若函数在区间上单调递增，则当且仅当，由此即可得解.
【详解】因为是定义在R上奇函数，
所以，
因为当时，，
所以当时，，，
所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为，
若函数在区间上单调递增，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知当时，，当时，，由函数的单调性对比选项即可得解.
【详解】当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
且时，当且仅当时，，
由此可知C，D选项中图象错误；
当时，，此时在上单调递减，
故选项A中图象不合题意，
又，故B中图象符合题意.
故选：B.
8. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 已知，则的值为11
B. 若，则函数的最小值为
C. 函数是偶函数
D. 函数在区间内必有零点
【答案】AD
【解析】
【分析】代入求值判断A，利用基本不等式求最值判断B，根据偶函数的定义判断C，根据零点存在性定理判断D.
【详解】对于A，由函数，令，可得，正确；
对于B，若，由，
当且仅当时，即时，等号显然不成立，错误；
对于C，由函数，则满足，解得，
即函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，错误；
对于D，由函数，可得，
所以，且函数连续不间断，所以函数在内必有零点，正确.
故选：AD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. “”的否定为“”
B. 函数的单调递减区间为
C. 函数与函数是同一个函数
D. 已知函数定义域为，则函数的定义域为
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，利用命题的否定即可判断；对B根据复合函数单调性的判断方法即可；对C，根据函数三要素即可判断；对D，根据抽象函数定义域的求解方法即可判断.
【详解】对A，“”的否定为“”，故选项A错误；
对B，中，即
解得，则定义域为，又的增区间为，而为单调减函数，
则由复合函数同增异减原则可得函数的单调递减区间为，故选项B正确；
对C，由于，可知两者解析式不一致,
则函数与函数不是同一个函数，故选项C错误；
对D，函数的定义域为，故，则，
所以的定义域为，所以，
即函数的定义域为，故D正确；
故选：BD.
11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值是9B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，直接由“乘1法”结合基本不等式即可判断；对于B，直接由基本不等式以及指数的运算性质即可判断；对于C，先由基本不等式得到的最大值为，进一步结合对数的运算性质即可判断；对于D，直接由“配凑法”以及基本不等式即可得解.
【详解】，且，
对于A，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以A正确；
对于B，由，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确；
对于C，由，解得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，的最大值是，所以C错误；
对于D，由，
得，当且仅当时等号成立，
则的最小值是，所以D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数的定义域是，对都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明的单调性可判断B；由与计算判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D.
【详解】因为，
令，可得，解得，所以A正确；
令，可得，所以，
任取且，则，
因为，所以，所以，
可得函数在上单调递增函数，所以B不正确；
由
，
，
所以C正确；
因为，由，可得，
所以，
所以等价于，即，
因为函数在上单调递增函数，可得，解得，
即不等式的解集为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 实数且，则函数的图象恒过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】令，结合指数函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
14. 若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件可得方程无实数解，则，解出即可.
【详解】由题意可知方程无实数解，
所以，解得，
故实数m的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知函数，且对于，恒有.则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意先由复合函数单调性得出，然后根据时，有意义进一步得到的一个范围，最终还要保证整体的单调，由此即可得解.
【详解】由题意，不妨设，则有，
从而，即，
所以是R上的减函数，
首先有，此时函数关于单调递减，
由复合函数单调性可知关于单调递增，
所以，又时，有意义，即恒成立，
而当时，单调递减，
故还需满足，
所以当且仅当实数满足，符合题意，
即，解得．
故答案为：.
16. 已知为整数，若关于的方程有正数解，则________．
【答案】
【解析】
【分析】将方程化为，运用换元法可求得，进而可得，解方程即可.
【详解】由得，所以．
设，则，，
因为为整数，所以，即，解得，
即，解得．
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0； （2）6.
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算法则化简、运算即可求解.
（2）根据换底公式和对数的运算法则化简、运算即可求解.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 设函数的定义域为，集合（）.
（1）求集合；
（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分与两种情况，进行求解.
【小问1详解】
要使得函数有意义，只需要解得，
所以集合.
【小问2详解】
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
当时，，解得；
当时，解得，
综上可知，实数的取值范围是.
19. 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式的解集设函数，然后根据最值求解参数即可解答；
（2）利用对勾函数单调性判断，利用单调性定义证明即可.
【小问1详解】
因为是二次函数，且的解集是，
所以可设，
且易知，所以在区间上的最大值是，
由已知得，所以，所以.
【小问2详解】
，在上单调递增，证明如下：
设，则
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
20. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查可知，A产品的利润与投资额成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资额单位都是万元）．
（1）求函数，的解析式；
（2）该企业已筹集到160万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这160万元投资，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）当产品投入60万元，产品投入100万元，企业获得最大利润为65万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，设，，，代入点的坐标计算即可；
（2）设产品投入x万元，则产品投入万元，设企业的利润为y万元，，，化简后通过换元法求出最大值即可．
【小问1详解】
设投资额为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题设得，，，
由图可知，则，
又，所以，
所以．
【小问2详解】
设产品投入x万元，则产品投入万元，设企业的利润为y万元，
则，
令，
则，故，
所以当时，，此时，，
所以当产品投入60万元，产品投入100万元，企业获得最大利润为65万元．
21. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.
（1）求函数和解析式，并判断函数的单调性(不用解析）；
（2）求函数，的最小值.
【答案】（1），在上单调递增，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性得到关系式，结合题意可求出函数和的解析式，再利用单调性的定义证明即可；
（2）求出的解析式，结合换元法及二次函数的性质，分类讨论求解最小值.
【小问1详解】
定义在R上的奇函数和偶函数，则，
∵①，∴，即②，
联立①②解得: ，
在上单调递增，
证明如下：
设，且，
，
，，
，即，
在单调递增.
【小问2详解】
，
令，可知时单调递增，则，
，
令，
当，即时，在时单调递增，则；
当，即时，在时单调递减，在时单调递增，
则；
当，即时，在时单调递减，则；
综上，当时，的最小值为0；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
22. 已知，且是偶函数．
（1）求的值；
（2）若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值；
（2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．
【小问1详解】
函数定义域为R，由函数为偶函数，有，
即，则有，
即 ，得，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，
则，
设，
依题意有，
由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，
令，则，有，
由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
，则有，得，