重庆市开州区临江中学2023-2024学年高二下学期期末复习数学（一）试卷（Word版附解析）

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1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（ ）
A．从时刻到物体的平均速度B．从时刻到位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度D．该物体在时刻的瞬时速度
【答案】D
2．设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据概率的性质列方程可得，根据期望和方差公式可得的值，根据和分别可得和，由此可得答案.
【详解】
解：因为，所以，故A正确；
又，，故C正确；
因为，所以，，故D正确．
故选：B．
3．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且对任意x∈R，f ′(x)－f (x)＜0，f (2)＝e2，若f (t)＜et，则t的取值范围为( )
A．(0，2) B．(2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)
B [构造函数g(t)＝ eq \f(f（t）,et)－1，则g(2)＝ eq \f(f（2）,e2)－1＝0.
∵g′ eq (t)＝ eq \f(f′（t）－f（t）,et)＜0，∴函数g(t)在R上单调递减，∵f (t)＜et，∴ eq \f(f（t）,et)－1＜0，即 eq \f(f（t）,et)－1＜g(2)，
即g(t)＜g(2)，∴t＞2，故选B.]
4．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
5．已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】设该切线为l，对求导得，
所以l的方程为，即．
设l与曲线相切的切点为，
则l的方程又可以写为，即．
所以，．消去m，可得，，
令，则．设，
当时，，所以在上单调递增，又，，
所以，所以．
6．已知，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
7．将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式
A．11232B．10483C．10368D．5616
【答案】C【详解】①3个1，3个2，0个3如表：
只用两种颜色，并选取两个位置放AB,此时有：种，
②1个1，2个2，3个3如表：
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在拐角），
并选取两个位置放AB,此时有：种，
或选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在中间），
并选取两个位置放AB,此时有：种，
③2个1，2个2，2个3如表：
选用三种颜色（2+2+2），并选取两个位置放AB，
此时有：种，
或选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB，
此时有：种，
所以不同的放置与上色方式有：
.
故选：C.
8．已知随机变量，若对任意的正实数，满足当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由二项分布的方程公式求，化简不等式可得，设，由条件可得在为减函数，根据单调性与导数的关系可求的取值范围.
【详解】因为，所以，
所以不等式可化为，
又，
所以，
所以，
由已知对任意的，且时，，
设，则在为减函数，
因为，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 (或)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法其中正确的是（ ）
A．对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和0.3；
C．已知随机变量，若，则的值为；
D．通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
【答案】BC
【分析】利用正态分布、回归分析等，对选项逐个分析判断即可.
【详解】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，
对于B，由两边取对数得，设，则，因为，所以，得，所以B正确，
对于C，因为随机变量，，所以由正态分布的性质可知，，所以，所以C正确，
对于D，通过回归直线及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，
故选：BC
10．下列结论正确的是（ ）
A．
B．多项式展开式中的系数为40
C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
D．被5除所得的余数是1
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用二项式定理及二项式展开式各项系数和，依次判断各项正误.
【详解】
解：因为，故A项正确;
多项式的展开式通项为：，要求的系数，则，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
故展开式中的系数为,故B项正确；
,其展开式中各项的二项式系数之和为，故C项错误；
因为，其展开式的通项公式为：，只有当时，即，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D项正确.
故选：ABD.
11．2024年端午节期间小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的是（ ）
A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【答案】BC
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误，
对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确，
对于C，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以C正确，
对于D，由题意可知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以D错误，
故答案为：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己的前生活状态的满意程度的指标，常用区间，内的一个数来表示，该数越接近10，表示满意度越高．现随机抽取10位某市市民，他们的幸福感指数为4，4，5，5，6，7，7，8，9，10．则这组数据的下四分位数是 5 ；第80百分位数是 8.5 ．
【分析】根据题意，由百分位数的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，共有10个数据，，，
这组数据的第25百分位数是第3个数据即为5；这组数据的第80百分位数是第8个数据和第9个数据的平均数即，
故答案为：8.5．
13．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．
【答案】
【分析】设出几个基本事件，按照条件概率和全概率公式直接计算即可.
【详解】设事件表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，表示“花还活着”，
由题意得，，，，，
则．
故答案为：.
14．若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为
【答案】
【分析】将给定不等式作等价变形，利用同构的思想构造函数，再利用导数分析函数的性质即可求解作答.
【详解】因为不等式在上恒成立，显然，，，
因此，
令，求导得，即函数在上单调递增，
，于是，即，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
因为，则当时，在上单调递增，在上单调递减，，
因此要使原不等式成立，则有，
当时，函数在上单调递减，，符合题意，
所以m的取值范围为。
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知关于x的函数，且函数f（x）在处有极值－．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
(1)
因为，所以．
因为函数f（x）在处有极值－．
所以，解得，或．
（i）当，时，，所以f（x）在R上单调递减，不存在极值．
（ii）当时，，
当时，，f（x）单调递增；
当时，，f（x）单调递减．
所以f（x）在处存在极大值，符合题意．
综上所述，，
(2)
由（1）知．，则，
令，得，．
当x变化时，，f（x）在[－1，2]的变化情况如下表：
所以f（x）在[－1，2]上的最大值为，最小值为．
16．（本小题满分15分）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
【答案】(1)有关
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【分析】
（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【解析】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以的数学期望为.
（3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.
17．（本小题满分15分）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；
（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
18．（本小题满分17分）为纪念中国共产党成立102周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)若，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【分析】（1）根据，，，可求得；
（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得．
【解答】解：（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率，，，，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）知，一轮获得一个积分的概率为，，，
，
整理得，
因为，且，所以，，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，，
所以，，，则，对称轴为，
又，所以当，时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即，解得，
因为为正整数，所以至少为20，
所以若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那么理论上至少要进行20轮竞赛．
19．（本小题满分17分）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若存在，且，使得，求证：.
【答案】(1)
(2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求出和的值，求切线方程即可；
（2）求原函数的导函数，构造函数，借助其导数的符号，研究的单调性及符号，的单调性即可解决；
（3）从出发，将不等式同构为的形式，设定，只需证成立，构造函数，用极值点偏移的方法解决问题即可.
【解析】（1）当时，，所以，
又，所以，
曲线在点处的切线方程为：；
（2）因为，且，
令，，因为，，
即函数在上单调递增，
由，得，
所以函数在上小于零，在上大于零，
因为，的符号和函数的符号一致，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（3）因为，
所以时，，且，
则，即，
若，且，，
所以，取自然对数得：，
即，
由得：，
即，
所以，
令，
设，所以，
所以时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增；
下面证明：，又，即证，
即证，即证，
令，
，
所以在区间上单调递增，
所以，从而得证；
故，
即，所以，
所以，得证.
【点睛】思路点睛：极值点偏移是一种最常见的考法，其解题步骤大致分为3步，第一步：代根作差找关系，第二步：换元分析化结论，第三步：构造函数证结论.
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
1
2
1
2
1
2
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3
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3
2
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1
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
x
－1
（－1，1）
1
（1，2）
2
＋
0
－
f（x）
单调递增
单调递减
年龄
次数
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
每周0~2次
70
55
36
59
每周3~4次
25
40
44
31
每周5次及以上
5
5
20
10
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2