重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期适应性月考卷（一）数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了已知，且，则的最小值为，已知，则等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号。都编号，应值号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需度动，用橡皮裤平净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，等试用时120分钟
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.若命题，则命题为
A.B.
C.D.
2.若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角（正角）为
3.
4.已知，且，则的最小值为
5.下列函数的图象不存在对称中心的是
A.B.
C.D.
6.已知，则
7.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为
A.B.
C.D.
8.已知，若方程有6个不等实数根，则实数的取值范围为
A.B.
C.D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次.记事件：两次的点数之和为偶数，：两次的点数之积为奇数，：第一次的点数大于2，则
A.B.
C.与相互独立D.与相互独立
10.已知函数，满足，且对任意，都，当取最小值时，则下列正确的是
A.图象的对称轴方程为
B.在上的值域为
C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D.在上单调递减
11.已知，则下列说法正确的是
A.方程有且只有一个实根
B.存在正整数，使得对任意的，都有成立
C.若对任意的，都有成立，则
D.若方程有两个不等实根，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知点在抛物线上，则到的准线的距离为___.
13.若对恒成立，则实数的取值范围为___
14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是___.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
16.（本小题满分15分）
某学生兴趣小组在研究所在学校的学生性别与身高（身高分为低于和不低于）的相关关系时，记事件“学生身高不低于”，事件“学生为女生”.据该校以往的统计结果显示，.
（1）求;
（2）若从该校的其中一个班随机抽取36名学生、依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验.分析学生的性别与身高是否不低于有关？
参考公式及数据：.
17.（本小题满分15分）
在中，分别是角的对边，有.
(1)若，求;
（2）若，求的面积最大值.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，虚轴长为6.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与的右支交于两点，若直线与交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知函数存在极大值.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值域.性别
身高
合计
2-3
低于
不低于
女
男
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
数学参考答案
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
【解析】
1.命题p是一个存在性命题,说明存在使x2−4x+3>0的实数x,则它的否定是:不存在使x2−4x+3>0的实数x,即对任意的实数x2−4x+3>0都不能成立,由以上的分析,可得¬p为:∀x>0,x2−4x+3≤0,故选C.
2.设该扇形的圆心角为θ,半径为r,则θr=π,12πr=2π⇒θ=π4r=4,故选A.
3.tan240∘+sin300∘=tan180∘+60∘+sin360∘−60∘=tan60∘−sin60∘=32,故选B.
4.1a+1b+4a+b=a+b4+4a+b≥2,当且仅当a=b=2时,取“=”成立,故选B.
5.A选项中y=x3为奇函数,故y=x3+1有对称中心0,1;B选项中y=x+1x为奇函数,将其右移一个单位后得到y=x−1+1x−1=x2−2x+2x−1,故有对称中心1,0;C选项中y=ex−1ex+1为奇函数,有对称中心0,0;D选项中y=x+1x不存在对称中心,故选D.
6.已知csα−π6=23,则sin2α+π6=sinπ2+2α−π3=cs2α−π3=2cs2α−π6−1=2×49−1=−19,故选D.
7.函数fx=2lnx−12ax2−2x在12,4上存在单调递增区间,即f'x=2x−ax−2>0在区间12,4上有解,即2x2−2x>a,令t=1x∈14,2,即2t2−2t>a有解,故取t=2,得a<4,故选C.
8.作出fx=lg21−x,x<1,−x−22+m,x≥1的图象,如图所示:
f1=m−1,f2=m,令t=fx,先解ft=0,知其有两根t1=0和t2=2+m,则
方程fx=t1=0提供2个根,故方程fx=t2提供4个不等实根,故m−1≤t2二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
【解析】
9.基本事件x,y总数n=6×6=36,事件A包含的基本事件x,y有18个,∴PA=1836=12,事件B包含的基本事件x,y有9个,所以PB=14,故A正确;事件C包含的基本事件x,y有24个,PC=2436=23,故B正确;AB包含的基本事件有9个,PAB=936=14,PAB≠PAPB,∴A与B不是相互独立事件,故C错误;BC包含的基本事件有6个,PBC=16=PBPC,∴B与C是相互独立事件,故D正确,故选ABD.
10.因为fx+f−π3−x=2,所以fx的图象关于点−π6,1对称,又对任意x∈R,都有fx≥f−5π12,所以当x=−5π12时,fx取得最小值,当ω取最小值时,即周期T最大,可得T4=−π6−−5π12,得T=π,所以ω=2πT=2,函数fx在x=−5π12时取得最小
值,所以2sin−5π6+φ+1=−1.因为φ<π2,所以φ=π3.即fx=2sin2x+π3+1.令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,得x=π12+kπ2,k∈Z.故A正确;当x∈−π12,π6时,2x+π3∈π6,2π3.此时fx的值域为2,3,故B错误;将y=2sin2x−π6+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y=2sin2x+π6+1的图象,故C错误;当x∈π6,π3时,2x+π3∈2π3,π,fx单调递减,故D正确,故选AD.
11.fx=exlnx,故f'x=exlnx⋅lnx+1,对于A选项,f'x只有x=1e这一个变号零点,故fx在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,故在x=1e处取得极小值f1e=1e1e, x→+∞时,fx→+∞,当00,故xn−1−1n也需要在x∈0,1上小于0,x∈1,+∞上大于0,显然不存在正整数n≥2满足题意,B选项错误;对于C选项,ℎx=fx−ax−1−1≥0,发现ℎ1=0,故x=1必为极小值点,由ℎ'x=exlnx⋅lnx+1−a知ℎ'1=0得到a=1,检验当a=1时,对于ℎ'x=exlnx⋅lnx+1−1,x>1时,lnx+1>1,exlnx>1,故ℎ'x>0,0三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
【解析】
12.点A1,3在抛物线C:y2=2px上,则3=2p,解得p=32,由抛物线的定义可知,A到C的准线的距离为xA+p2=1+34=74.
13.两边同乘以x后移项,得axeax≥x+1lnx−ax,即axeax+1≥x+1lnx=elnx+1lnx.令nx=xex+1,则nax≥nlnx . n'x=ex+1+xex,由x∈0,+∞,n'x=ex+1+xex>0,所以nx在0,+∞上单调递增.因为nax≥nlnx,所以ax≥lnx,所以a≥lnxx,令φx=lnxxx>0,则φ'x=1−lnxx2x>0,当00,当x>e时,φ'x<0,所以φx在0,e上递增,在e,+∞上递减,所以φxmax=φe=lnee=1e,所以a≥1e.
14.由函数fx=asinωx+bcsωx=a2+b2sinωx+φtanφ=ba,φ∈0,π2,可知函数
周期是2πω,由①知f'π3=ωacsωπ3−bsinωπ3=0⇒tanωπ3=ab,且函数的一条对称
轴是x=π3,所以ω×π3+φ=π2+mπm∈Z⇒φ=−ωπ3+π2+mπ;又因为fx在区间
3π5,4π5是单调函数,所以3π5ω+φ,4π5ω+φ⊆−π2+kπ,π2+kπk∈Z,
3π5ω+φ≥−π2+kπ4π5ω+φ≤π2+kπ12T≥π5⇒3π5ω−ωπ3+π2+mπ≥−π2+kπ4π5ω−ωπ3+π2+mπ≤π2+kπ12T≥π5⇒ω≥−154+154k−mω≤157k−m0<ω≤5⇒0<ω≤157
或154≤ω≤307.
四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
（1）解:已知a1+a22+a33+⋯+ann=nn+1,n∈N∗,
当n=1时,a1=2;
当n≥2时,a1+a22+a33+⋯+an−1n−1=nn−1⇒ann=2n⇒an=2n2,
综上:an=2n2,n∈N∗..(6分)
（2）证明:bn=an+1−anan⋅an+1=121n2−1n+12⇒Sn=b1+b2+⋯+bn=121−1n+12,
.(9分)
∵Sn=121−1n+12,n∈N∗单调递增,(10分)
∴n=1时,Snmin=S1=38,(11分)
∵n∈N∗,1n+12>0, ∴1−1n+12<1,即Sn<12,.(12分)
因此:∀n∈N∗,38≤Sn<12.(13分)
16.(本小题满分15分)
解:(1)PAB=PA∣BPB=16×23=19;
由全概率公式可得PA=PB⋅PA∣B+PB⋅PA∣B,解得PA∣B=23.-(6分)
（2）完成列联表如下:
零假设为H0:学生的性别与身高是否不低于170 cm无关,
根据列联表中的数据,经计算得到χ2=36×20×8−4×4224×12×12×24=9>7.879=x0.005,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为学生的性别与身高是否不低于170 cm有关,
此推断犯错误的概率不大于0.005..(15分)
17.(本小题满分15分)
解:(1)在△ABC中,∵A=π6,∴sinA=12,csA=32,
由正弦定理,sinA1+csB=sinB3−csA,1+csB2=sinB3−32=3sinB2,
则有1+csB=3sinB⇒2cs2B2=23sinB2csB2⇒tanB2=33,
由于B∈0,π,故B2=π6⇒B=π3..(6分)
（2）原等式变为sinA1+csB=sinB3−csA,
∴3sinB−csAsinB=sinA+csBsinA,
∴3sinB=sinA+sinA+B=sinA+sinπ−C=sinA+sinC,
由正弦定理得3b=a+c,∵b=3,∴a+c=3,S△ABC=12acsinB,
由余弦定理知csB=a2+c2−b22ac=a+c2−3−2ac2ac=3ac−1,
其中ac≤a+c24=94,a=c时取等,
S△ABC=12ac1−cs2B=12ac6ac−9ac2=126ac−9≤126×94−9=324.
.(15分)
法二:由csB=a2+c2−b22ac=a+c2−3−2ac2ac=3ac−1⇒31+csB=ac,
其中ac≤a+c24=94,
故csB≥13, S△ABC=12acsinB=1231+csBsinB=3sinB21+csB=31−cs2B21+csB,
令t=1+csB≥43, S△ABC=321−csB1+csB=322−tt≤3232−1=324.
法三:由正弦定理得3b=a+c,∵b=3,∴a+c=3,
则点B可看作是以A,C为焦点,3为长轴长的椭圆上的点,
以AC中点为原点,AC所在直线为x轴建立直角坐标系,则点B轨迹方程为:x294+y232=1,
故S△ABC=12AC⋅yB≤12×3×32=324.
18.(本小题满分17分)
（1）解:设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0,
依题意有:a=4,2b=6,∴b=3,
所以双曲线方程为x216−y29=1..(4分)
(2)(i)证明:设直线MN方程为:x=my+6,设Mx1,y1,Nx2,y2,
联立方程x=my+6x216−y29=1,消去x得:9m2−16y2+108my+180=0,
∵m≠±43, ∴y1+y2=−108m9m2−16,y1y2=1809m2−16,
∵Mx1,y1是双曲线C上的点,
∴x1216−y129=1, ∴x12−1616=y129, ∴x1+4x1−4y12=169, ∴x1+4y1=16y19x1−4,
直线A1M:y=y1x1+4x+4,直线A2N:y=y2x2−4x−4,
联立方程得y1x1+4x+4=y2x2−4x−4, ∴x+4x−4=y2x1+4y1x2−4=x1+4y1⋅y2x2−4
=16y19x1−4⋅y2x2−4=16y19my1+2⋅y2my2+2=16y1y29m2y1y2+18my1+y2+36=−5,
解得x=83,故点P在定直线x=83上..(12分)
(ii)解:由双曲线对称性可知,点Q也在直线x=83上,
设P83,y3,Q83,y4,点P在直线A1M上,所以y3=y1x1+483+4=20y13x1+4,
点Q在直线A1N上,所以y4=y2x2+483+4=20y23x2+4,
所以PR⋅QR=103,−y3⋅103,−y4=1009+y3y4
=1009+4009⋅y1y2x1+4x2+4=1009+4009⋅y1y2my1+10my2+10
=1009+4009⋅y1y2m2y1y2+10my1+y2+100
=1009+4009⋅1809m2−16m21809m2−16−1080m29m2−16+100=1009−4009×980=559,
所以PR⋅QR=559..(17分)
19.(本小题满分17分)
解:(1)fx=lna+lnxlnx+1, f'x=x+1xlnx+1−lnx−lnax+1ln2x+1,
.(3分)
令ℎx=x+1xlnx+1−lnx,则ℎ'x=−lnx+1x2<0在0,+∞上恒成立,
所以ℎx在0,+∞上单减..(5分)
因为limx→0+ℎx=+∞,limx→+∞ℎx=0,所以:
①当lna<0,即a∈0,1时,ℎx−lna>0,即f'x>0在0,+∞上恒成立,
即fx在0,+∞上单增,无极大值,不合题意,舍;
②当lna>0,即a∈1,+∞时,存在x0∈0,+∞,使得ℎx0=lna,
此时,当x∈0,x0时,ℎx−lna>0⇒f'x>0,
当x∈x0,+∞时,ℎx−lna<0⇒f'x<0,
则fx在0,x0上单增,在x0,+∞上单减.
所以fx存在极大值fx0,符合题意.
综上,a∈1,+∞..(8分)
（2）由（1）知,ℎx0=lna∈ln332,ln274,且ℎx在0,+∞上单减,
ℎ12=ln274,ℎ2=ln332,所以x0∈12,2且a与x0一一对应.
(10分)
因为ga−lna=fx0−ℎx0=lna+lnx0lnx0+1−x0+1lnx0+1x0+lnx0=
1+1−x0+1lnx0+1x0+lnx0,(13分)
令φx=1+1−x+1⋅lnx+1x+lnx,x∈12,2,
则φ'x=lnx+1−1x2,所以φx在12,e−1上单减,在e−1,2上单增.
又φe−1=lne−1, φ2<φ12=3−ln274,
所以φx∈lne−1,3−ln274,即ga−lna∈lne−1,3−ln274.(17分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
D
D
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
AD
ACD
题号
12
13
14
答案
74
1e,+∞
0,157∪154,307
性别
身高
合计
2-3
低于170 cm
不低于170cm
女
20
4
24
男
4
8
12
合计
24
12
36