重庆市开州中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附答案）

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注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
1．【答案】A
【解析】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为. 故选：A
2．已知，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以在上的投影向量为 故选：B
3．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
4．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．【答案】D
【解析】因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，
所以
，故选：D.
5．已知在平面直角坐标系Oxy中，A eq (－2，0)，B eq (4，0).点P满足 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB)))＝ eq \f(1,2)，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．曲线C的方程为
B．曲线C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．曲线C上存在点M，使得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MA))
D．曲线C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
【答案】D
【解析】由题意可设点P eq (x，y)，由A eq (－2，0)，B eq (4，0)， eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PA)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PB)))＝ eq \f(1,2)，得 eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))\s\up10(2)＋y2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－4))\s\up10(2)＋y2))＝ eq \f(1,2)，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即，故A错误；
点(1，1)到圆上的点的最大距离 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4－1))\s\up10(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－1))\s\up10(2))＋4<10，故不存在点D符合题意，故B错误；
设M(x0，y0)，由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO))＝2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MA))，得 eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)))＝2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋2))\s\up10(2)＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)))，又 eq (x0＋4) eq \s\up10(2)＋y eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0))＝16，
联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C错误；
C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4))－13)),5)＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离d＋r＝5＋4＝9，故D正确．故选D.
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
故到平面的距离为，故选：A.
7．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；
当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故错误；
故选：C
8．在平面直角坐标系中，已知、为圆上两动点及定点，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B. C. D.
【答案】D
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
【答案】ABC
【解析】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；
在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；
，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；
直线被圆截得弦最短时，直线且，则直线方程为，即．D错．
故选：ABC．
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
B．已知，点为轴上一动点，则的最大值是
C．已知，，，过A作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为
D．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线x＋2y－1＝0平行的直线方程为x＋2y－7＝0
10．【答案】BCD
【解析】
对于A：当直线经过原点时，所求直线为：；
当直线不经过原点时，用截距式方程表示：，因为在轴和轴上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直线为.故A错误；
对于B：由已知点关于轴的对称点为，，直线方程为，令得，所以直线与轴交点为，
，当且仅当是与轴交点时等号成立．.故B正确；
对于C：对选项，，
则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为：故正确；
对于D：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,x－y＋2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))即l1与l2的交点为(1，3)．设与直线x＋2y－1＝0平行的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.则所求直线方程为x＋2y－7＝0；故D正确
故选BCD
11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点G到平面的距离为定值
B．若，则的最小值为2
C．若，且，则点G到直线的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解.
【详解】对于A，在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确；
对于B，连接面 ，是在平面上的射影，要使，则，所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆，所以的最小值为，故B错误；
对于C，对于C，连接，
因为，且，所以四点共面，
因为在正方体中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方体中，，
所以四边形是平行四边形，则，则，
因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，
所以，
故点G到直线距离
故C正确；
对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，

设，则，
所以，
设平面的法向量为n=a,b,c，则，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以，则，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是 ；
【答案】或2
【解析】由题可知圆心，半径，圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，解得或．
13. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________．
13．【答案】
【解析】因为，所以，解得或.
当时，与重合，不符合题意；
当，直线：,：,即，满足，
故直线与之间的距离是.故答案为:.
14．现有四棱锥（如图），底面是矩形，平面.，，点，分别在棱，上.当空间四边形的周长最小时，异面直线与所成角的余弦值为___________.
【答案】##
将沿旋转到平面内，如下图所示，
设点关于对称的点为，线段与的交点为，
此时空间四边形PEFD的周长最小，
因为，所以，
同理可得：，
因为底面ABCD是矩形，所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
异面直线PE与DF所成角的余弦值为：
，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.
(1)求圆C的方程；
(2)若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】(1)因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为
∴圆C的方程为：；
(2)当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，
则.
又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为.
综上：的方程为或.
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以，
又底面ABCD为菱形，所以，
所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以
又平面PCD．平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：连接，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为菱形，，
所以为等边三角形，
因为F为BC的中点，
所以，
因为∥，
所以，
所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．
设平面DEF的法向量，则
，令，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
17. （本小题满分15分）过点作直线分别交轴、轴正半轴于两点。
(1)当面积最小时，求直线的方程.
(2)当取到最小值时，求直线的方程.
【解析】过点的直线与轴、轴正半轴相交，所以直线的斜率
设直线的方程为，则
(1)
当且仅当时取“=”成立，
则直线的方程为：
(2)
当且仅当时取“=”成立，
则直线的方程为：
18. （本小题满分17分）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥体积最大时，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)在翻折过程中总有平面平面，
证明如下：∵点，分别是边，的中点，
又，∴，且是等边三角形，
∵是的中点，∴，
∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
(2)由题意知，四边形为等腰梯形，
且，，，
所以等腰梯形的面积，
要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，
∴当平面时，点到平面的距离的最大值为，
此时四棱锥体积的最大值为，
假设符合题意的点存在．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
由（2）知，，
又，且，平面，平面，平面，
故平面的一个法向量为，
设（），
∵，
，故，
∴，，
平面的一个法向量为，
则，，
即，则平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，解得：，
故符合题意的点存在且为线段的中点．
19．（本小题满分17分）已知圆经过三点．
(1)求圆的方程．
(2)已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线经过定点，该定点的坐标为
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.
【详解】（1）设圆W的方程为，
则，解得
则圆W的方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，
则，整理得．
又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则．
，
则，
整理得，
解得或．
当时，直线的方程为，
此时直线经过点，不符合题意，故舍去．
所以，
故直线的方程为，即，经过定点．
综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．