四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期第三次周考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期第三次周考数学试题（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，命题，则（ ）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．这10天中PM2.5日均值的极差是52
B．从5日到9日，PM2.5日均值逐渐降低
C．从这10天的日均PM2.5监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
D．这10天的PM2.5日均值的中位数是45
5．若，，，则ab的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数与的图象恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
8．已知直角的斜边长为2，若沿其直角边所在直线为轴，在空间中旋转形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．晓余每天9:00上班，17:30下班.若晓余从家到公司所需时间（单位:分钟）服从正态分布，从公司到家所需时间（单位:分钟）服从正态分布，则下列结论正确的是（ ）
（参考数据:若随机变量，则）
A．若晓余8:36从家出发去公司，则晓余迟到的概率大于0.02
B．若晓余8:42从家出发去公司，则晓余不迟到的概率小于0.2
C．若晓余17:40从公司出发回家，则晓余18:00后到家的概率小于0.97
D．若晓余17:30从公司出发回家，则晓余18:00前到家的概率大于0.8
10．已知，则（ ）
A．B．，使
C．，使D．在上单调递增
11．已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
12．记为等差数列的前项和，若，则 ．
13．过原点的直线与曲线，都相切，则实数 ．
14．已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是 ．
15．（13分）已知函数．
(1)若，求函数的对称中心；
(2)若在定义域上单调递增，求实数的最小值．
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．
(1)求证：；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
17．（15分）为了检测A、B两种型号的抗甲流病毒疫苗的免疫效果，某医疗科研机构对100名志愿者注射A型号疫苗，对另外100名志愿者注射B型号疫苗，一个月后，检测这200名志愿者他们血液中是否产生抗体，统计结果如下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，判断能否认为A型号疫苗比B型号疫苗效果好?
(2)志愿者中已产生抗体的不用接种第二针，没有产生抗体的志愿者需接种原型号抗甲流病毒疫苗第二针，且第二针接种型号疫苗后每人产生抗体的概率为，第二针接种B型号疫苗后每人产生抗体的概率为，用样本频率估计概率，每名志愿者最多注射两针．现从注射A、B型号抗甲流病毒疫苗的志愿者中各随机抽取1人，X表示这2人中产生抗体的人数，求X分布列和数学期望．
参考公式：（其中）
18．（17分）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足为的重心？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）已知函数定义域为，，若，，当时，都有．则称为在上的“Ω点”．
(1)设函数．
（i）当时，求在上的最大“Ω点”；
（ii）若在上不存在“Ω点”，求a的取值范围；
(2)设，且，．证明：在D上的“Ω点”个数不小于．
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
疫苗
抗体情况
有抗体
没有抗体
A型号疫苗
80
20
B型号疫苗
75
25
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．D
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用复数的几何意义求解即得.
【详解】依题意，，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
2．C
【分析】用列举法表示集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，
所以，
因为，
所以.
故选：C
3．B
【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合特例法、全称命题和特称命题的否定的性质进行判断即可.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题，则为假命题；
综上，和均为真命题.
故选：B
4．D
对于D：这10天的数据从小到大依次为：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，
故中位数为，故D错误；
故选：D.
5．D
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
6．A
【分析】构造函数并探讨奇偶性，由有唯一零点求出，再验证即可.
【详解】令函数，其定义域为R，
，函数为偶函数，
由函数与的图象恰有一个交点，得有唯一零点，
因此，即，解得，，
当时，，
令函数，，函数在上单调递增，
，则当时，，函数在上递增，在上递减，
所以函数有唯一零点，.
故选：A
7．A
【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.
【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，
则有，解得，于是得，
当时，，于是得：，解得，
由得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：A
8．C
【分析】利用勾股定理与锥体体积公式可得，构造相应函数，再借助导数研究其单调性即可得其最大值.
【详解】由题意，设内角所对的边为，则有，
则该圆锥的体积，
设，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以.
故选：C.
9．ABD
【分析】利用正态曲线的对称性及参考区间概率值求解可得.
【详解】A项，晓余8:36从家出发去公司迟到即上班时间超过24分钟，
由服从正态分布，
所以，故A正确；
B项，晓余8:42从家出发去公司不迟到即上班时间不超过18分钟，
所以，故B正确；
C项，晓余17:40从公司出发回家，18:00后到家即下班时间超过20分钟，
由服从正态分布，
所以，故C错误；
D项，晓余17:30从公司出发回家18:00前到家即下班时间小于30分钟，
，
，故D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】对于A，代入化简即可；对于B，利用导数研究函数的单调性即可；对于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等号是否能取到.
【详解】对于A，，，故A正确.
对于的定义域为，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以1即，
在单调递减，故D错误；
对于B，当时，，此时不存在，使；
当x>0时，，
由B知，，等号取不到，故不存在，使，故B错误；
对于C，当x>0时，，此时不存在，使；
当时，，
，则在上恒成立，
所以在上单调递增，因为，
所以，使得即，
所以存在，使，故C正确.
故答案为：AC
11．ACD
【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出.
【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称，
故是偶函数，则，故A正确；
B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误；
CD选项，由得，
又，所以，又，
即，即，则，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函数的周期为4，
令，由，得，
再令，则，所以，
又，由，
所以
，故C，D正确.
故选：ACD.
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
函数的周期性：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
12．63
【分析】先由等差数列的通项公式结合题意求出，再由等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，
解得，所以.
故答案为：63.
13．
【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式即可求解.
【详解】设直线l与曲线相切于点，
由，得，
所以曲线在处的切线的斜率为，
所以，得，即，解得，
所以曲线在处的切线为，即直线的方程为，
设直线l与曲线相切于点，
由，得，
所以曲线在处的切线的斜率为，
所以，解得.
故答案为：.
14．【分析】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案.
【详解】因为函数是上的减函数，
则，解得，
函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根，
如图，在上方程恰好有一解，
所以在上，方程有且仅有一解，
当即时，由，
即，，则，
解得或1（舍去），
当时，经检验符合题意；
当即时，由图象知符合题意.
综上，的取值范围是.
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决.
15．【分析】（1）当时，得到，即可证明结果，由，即可求出对称中心；
（2）由题有在上恒成立，利用基本不等式得到，即可求解.
【详解】（1）当时，，其中，------------------2分
，
所以，
故函数的对称中心为． -----------------6分
（2）当时，，其中，
因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
又， -----------------8分
又，当且仅当时等号成立，
得到，所以，即，
所以的最小值为． -----------------13分
16．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，，
又，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，设，，
所以，
则，
则，
故； -----------------7分

（2），则，
则，
则，
又，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为
，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，故. ----------------- 15分

17．(1)不能认为型号抗甲流病毒疫苗比型号抗甲流病毒疫苗效果好
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）先利用条件概率公式分别求出志愿者最多两针接种A型号疫苗产生抗体和志愿者最多两针接种B型号疫苗产生抗体的概率，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可.
【详解】（1）零假设为：两种型号疫苗的效果没有差异，
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
故不能认为型号抗甲流病毒疫苗比型号抗甲流病毒疫苗效果好； -----------------6分
（2）设事件“志愿者第一针接种A型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者第二针接种A型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者最多两针接种A型号疫苗产生抗体”，
所以，
则， -----------------7分
设事件“志愿者第一针接种B型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者第二针接种B型号疫苗产生抗体”，
事件“志愿者最多两针接种B型号疫苗产生抗体”，
所以，
则， -----------------8分
由题意可知，的可能取值为0，1，2，
， -----------------14分
所以分布列为
故． -----------------15分
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，
（2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解.
【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得，
由于，故，即. ----------------6分
（2）联立与可得，
设，
则， ----------------8分
故
设存在点C满足，则，
故， ----------------10分
由于在，故，
化简得，即，解得或（舍去），--14分
由于，解得且，
故符合题意，由于，故，
故,故，
故存在，使得 ----------------17分
19．(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）由题意可得对，，当时，都有，即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得；
（ii）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及讨论函数单调性即可得；
（2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.
【详解】（1）（i）当时，，
则，
则当时，f'x>0，当x∈0,+∞时，f'x<0，
即在上单调递增，在0,+∞上单调递减，
即对，，当时，都有，
即在上的最大“Ω点”为； ----------------4分
（ii）由题意可得在时恒成立，
，
令，，
则，
当时，恒成立，故在0,1上单调递减，
则，
故在0,1上单调递减，此时，符合要求；
当时，令，则，
则当，即时，，即在0,1上单调递增，
则，即在0,1上单调递增，
有，不符合要求，故舍去；
当，即时，恒成立，故在0,1上单调递减，
则，故在0,1上单调递减，
此时，符合要求；
当，即时，
若，，若，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则若需恒成立，有，解得，
由，故，
由，故，
即当时，符合要求；
综上所述，； ----------------10分
（2）若在D上的“Ω点”个数为，则，符合要求；
若在D上的“Ω点”个数为，令在D上的“Ω点”分别为、、、，
其中、，、、、，
若，
则若，由，则，即，
若，由题意，，，
故，即，又，故，符合要求；
若，
则，，，，
由，则，
若，即，则，
若，由题意，，且，
又，故，即，，，，
即有，即，
由，故，
又，故，
即在D上的“Ω点”个数不小于. ----------------17分
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.
0
1
2